Identificar o lugar geométrico que descreve um ponto
sabendo que as sua distância à reta
é o dobro de sua distância ao ponto
(Rpta: Elipse
).
Passo 1
O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos
tais que a distância de
à reta
seja o dobro da distância de
ao ponto
.
O conteúdo aqui é aplicar a fórmula de distância de ponto a reta e de ponto a ponto e depois identificar o tipo de cônica que surge.
O conteúdo aqui é aplicar a fórmula de distância de ponto a reta e de ponto a ponto e depois identificar o tipo de cônica que surge.
Passo 2
A distância de
à reta
é dada por
A distância de
ao ponto
é
A condição do problema é
Passo 3
Substituindo as fórmulas, temos
Elevando ambos os lados ao quadrado (isso preserva o lugar geométrico, pois estamos ‘perdendo’ apenas o sinal do módulo), resulta
Passo 4
Agora expandimos e simplificamos:
Reagrupando todos os termos num lado:
Passo 5
Para colocar em forma reduzida de cônica, dividimos por
:
Isto mostra que o lugar geométrico é uma elipse de semi-eixos
e
.
Resposta
A curva pedida é a elipse