Identificar o lugar geométrico que descreve um ponto P sabendo que as sua distância à reta L: y=-8 é o dobro de sua distância ao ponto A=(0,-2) (Rpta: Elipse x^212+y^216=1 ).

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos P=(x,y) tais que a distância de P à reta Lcolon y=-8 seja o dobro da distância de P ao ponto A=(0,-2).
O conteúdo aqui é aplicar a fórmula de distância de ponto a reta e de ponto a ponto e depois identificar o tipo de cônica que surge.

Passo 2

A distância de P=(x,y) à reta Lcolon y=-8 é dada por
dist(P,L)=|0cdot x+1cdot y+8|raiz0^2+1^2=|y+8|
A distância de P ao ponto A=(0,-2) é
dist(P,A)=raiz(x-0)^2+(y+2)^2=raizx^2+(y+2)^2
A condição do problema é
dist(P,L)=2,dist(P,A)

Passo 3

Substituindo as fórmulas, temos
|y+8|=2raizx^2+(y+2)^2
Elevando ambos os lados ao quadrado (isso preserva o lugar geométrico, pois estamos ‘perdendo’ apenas o sinal do módulo), resulta
(y+8)^2=4l(x^2+(y+2)^2r)

Passo 4

Agora expandimos e simplificamos:
y^2+16y+64 ;=;4x^2+4y^2+16y+16
Reagrupando todos os termos num lado:
0=4x^2+4y^2+16y+16 -y^2-16y-64
0=4x^2+3y^2-48

Passo 5

Para colocar em forma reduzida de cônica, dividimos por 48:
4x^2+3y^2=48 Longrightarrow x^212+y^216=1
Isto mostra que o lugar geométrico é uma elipse de semi-eixos raiz12 e 4.

Resposta

A curva pedida é a elipse
x^212+y^216=1

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