Verificar o que representa cada equação abaixo:
5 x^2-4 y^2-20 x-8 y-4=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar a curva dada pela equação
5x^2-4y^2-20x-8y-4=0
ou seja, identificar de que tipo de cônica se trata e escrevê-la em forma padrão. Vamos usar o método de completar quadrados para reorganizar os termos em x e y.

Passo 2

Agrupamos os termos em x e em y e colocamos constantes de fora:
5l(x^2-4xr);-;4l(y^2+2yr);-;4=0
Agora completamos o quadrado em cada grupo:
— Para x^2-4x:
x^2-4x = l(x-2r)^2-4
— Para y^2+2y:
y^2+2y = l(y+1r)^2-1
Substituindo de volta:
5l[(x-2)^2-4r] ;-;4l[(y+1)^2-1r];-;4=0

Passo 3

Distribuímos os fatores e simplificamos constantes:
5(x-2)^2 -20 ;-;4(y+1)^2 +4 ;-;4 =0 Longrightarrow 5(x-2)^2 -4(y+1)^2 -20 =0
Longrightarrow 5(x-2)^2 ;-;4(y+1)^2 =20 Longrightarrow (x-2)^24 ;-;(y+1)^25 =1
Esse é o formato padrão de uma hipérbole com eixo transverso paralelo ao eixo x.

Passo 4

Da forma
(x-2)^24 - (y+1)^25 =1
vemos que:
— Centro em (2,,-1).
— Semi-eixo transverso a = 2 (no eixo x).
— Semi-eixo conjugado b = raiz5 (no eixo y).
— A hipérbole abre para a direita e para a esquerda (eixo principal horizontal).

Resposta

A equação representa uma hipérbole centrada em (2,-1), de equação padrão
(x-2)^24 ;-;(y+1)^25 =1,
com semi-eixos a=2 e b=raiz5, e ramo aberto horizontalmente.

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