Determinar a equação da elipse com focos em (2,0) e(-2,0) e excentricidade e=2 / 3 (Rpta: Elipse x^29+y^25=1 ).

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma elipse cujos focos são (2,0) e (-2,0) e com excentricidade e=tfrac23. Vamos usar a definição de elipse com eixo maior sobre o eixo x, em que a forma padrão é
x^2a^2 + y^2b^2 = 1,
onde 2a é a soma das distâncias de qualquer ponto da elipse aos dois focos, c é a distância do centro ao foco e a excentricidade satisfaz e = tfracca. Além disso, vale a relação
c^2 = a^2 - b^2

Passo 2

Como os focos estão em (pm 2,0), o centro da elipse é (0,0) e
c = 2
Pela definição de excentricidade,
e = ca = 23

Passo 3

Da igualdade tfracca = tfrac23 obtemos
a = ce = 2tfrac23 = 3

Passo 4

Usando a relação c^2 = a^2 - b^2, temos
b^2 = a^2 - c^2 = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5

Passo 5

Substituindo a^2 = 9 e b^2 = 5 na forma padrão da elipse, obtemos
x^29 + y^25 = 1

Resposta

A equação da elipse é
x^29 + y^25 = 1

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