1. (a) Mostre que i cdot j=j cdot k=k cdot i=0.
    (b) Mostre que i cdot i=j cdot j=k cdot k=1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os vetores canônicos i, j e k de R^3 satisfazem certas propriedades do produto escalar. Para isso, vamos usar a definição de produto escalar em coordenadas e as expressões de cada vetor canônico.

Passo 2

Pela definição, dados u=(u1,u2,u3) e v=(v1,v2,v3), o produto escalar é
ucdotv=u1,v1+u2,v2+u3,v3
Além disso, os vetores canônicos são
i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1)

Passo 3

Para vetores diferentes, basta aplicar a definição componente a componente:
icdotj=(1,0,0)cdot(0,1,0)=1cdot0+0cdot1+0cdot0=0,
jcdotk=(0,1,0)cdot(0,0,1)=0cdot0+1cdot0+0cdot1=0,
kcdoti=(0,0,1)cdot(1,0,0)=0cdot1+0cdot0+1cdot0=0

Passo 4

Para cada vetor com ele mesmo, somamos os quadrados das componentes:
icdoti=1cdot1+0cdot0+0cdot0=1,
jcdotj=0cdot0+1cdot1+0cdot0=1,
kcdotk=0cdot0+0cdot0+1cdot1=1

Resposta

(a) icdotj=jcdotk=kcdoti=0
(b) icdoti=jcdotj=kcdotk=1

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