Uma partícula move-se sobre a parábola
. Sabendo-se que suas coordenadas
e
são funções deriváveis, em que ponto da parábola elas deslocam-se à mesma taxa?
Passo 1
O enunciado diz que a partícula está em movimento sobre a curva
, com ambas as coordenadas
e
diferenciáveis. Ele pede o ponto em que a velocidade em
, isto é
, é igual à velocidade em
, isto é
. O conteúdo principal é aplicação da regra da cadeia para taxas relacionadas.
Passo 2
Como a partícula segue
, podemos escrever
Para relacionar as taxas, derivamos ambos os lados em relação a
. Pela regra da cadeia, obtemos:
Passo 3
Queremos o ponto em que
Substituindo a expressão de
,
Passo 4
Reescrevendo a equação:
Dessa igualdade, ou
(caso trivial, sem movimento) ou
Passo 5
Desprezando o caso trivial de
(que corresponderia à partícula parada), concluímos que o único ponto não trivial onde
ocorre quando
. Na parábola
, isso dá
Resposta
O ponto é
.