Uma partícula move-se sobre a parábola y=x^2. Sabendo-se que suas coordenadas x(t) e y(t) são funções deriváveis, em que ponto da parábola elas deslocam-se à mesma taxa?

Passo 1

O enunciado diz que a partícula está em movimento sobre a curva y = x^2, com ambas as coordenadas x(t) e y(t) diferenciáveis. Ele pede o ponto em que a velocidade em x, isto é dxdt, é igual à velocidade em y, isto é dydt. O conteúdo principal é aplicação da regra da cadeia para taxas relacionadas.

Passo 2

Como a partícula segue y = x^2, podemos escrever
y(t) = l(x(t)r)^2
Para relacionar as taxas, derivamos ambos os lados em relação a t. Pela regra da cadeia, obtemos:
dydt = 2x,dxdt

Passo 3

Queremos o ponto em que
dydt = dxdt
Substituindo a expressão de dydt,
2x,dxdt = dxdt

Passo 4

Reescrevendo a equação:
2x,dxdt - dxdt = 0 Longrightarrow dxdt,(2x - 1) = 0
Dessa igualdade, ou dxdt = 0 (caso trivial, sem movimento) ou
2x - 1 = 0 Longrightarrow x = tfrac12

Passo 5

Desprezando o caso trivial de dxdt=0 (que corresponderia à partícula parada), concluímos que o único ponto não trivial onde dxdt=dydt ocorre quando x=tfrac12. Na parábola y=x^2, isso dá
y = l(tfrac12r)^2 = tfrac14

Resposta

O ponto é l(tfrac12,tfrac14r).

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