Identifique cada cônica (como círculo, elipse, hipérbole ou parábola) e faça um esboço no plano cartesiano:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
e precisamos descobrir que tipo de cônica ela representa (pode ser círculo, elipse, hipérbole ou parábola) e fazer um desenho no plano cartesiano. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra e entender as características de cada cônica.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar colocar essa equação na forma padrão das cônicas. A forma geral para uma elipse é:
E para um círculo, seria:
Comparando com a nossa equação
, percebemos que temos termos de
e
, o que já elimina a possibilidade de ser uma parábola ou hipérbole.
Passo 3
Vamos simplificar a equação para ver melhor:
Dividindo todos os termos por 16:
Simplificando:
Agora, está na forma padrão de uma elipse, onde
e
.
Passo 4
Isso significa que a elipse está centrada na origem
, com o eixo maior no eixo
(porque
). O comprimento do eixo maior é
e o do eixo menor é
.
Passo 5
Para esboçar, vamos:
- Marcar o centro na origem.
- A partir do centro, no eixo
, marcar os pontos e (extremos do eixo maior). - No eixo
, marcar os pontos e (extremos do eixo menor). - Desenhar uma elipse passando por esses pontos, mais alongada no eixo
.
Resposta
A equação
representa uma elipse centrada na origem, com eixo maior de comprimento 8 no eixo vertical e eixo menor de comprimento 4 no eixo horizontal. O esboço no plano cartesiano mostra uma elipse alongada verticalmente, passando pelos pontos
,
,
e
.