Identifique cada cônica (como círculo, elipse, hipérbole ou parábola) e faça um esboço no plano cartesiano: 4 x^2+y^2=16.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação 4x^2 + y^2 = 16 e precisamos descobrir que tipo de cônica ela representa (pode ser círculo, elipse, hipérbole ou parábola) e fazer um desenho no plano cartesiano. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra e entender as características de cada cônica.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar colocar essa equação na forma padrão das cônicas. A forma geral para uma elipse é:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
E para um círculo, seria:
(x - h)^2r^2 + (y - k)^2r^2 = 1
Comparando com a nossa equação 4x^2 + y^2 = 16, percebemos que temos termos de x^2 e y^2, o que já elimina a possibilidade de ser uma parábola ou hipérbole.

Passo 3

Vamos simplificar a equação para ver melhor:
4x^2 + y^2 = 16
Dividindo todos os termos por 16:
4x^216 + y^216 = 1
Simplificando:
x^24 + y^216 = 1
Agora, está na forma padrão de uma elipse, onde a^2 = 16 e b^2 = 4.

Passo 4

Isso significa que a elipse está centrada na origem (0,0), com o eixo maior no eixo y (porque a > b). O comprimento do eixo maior é 2a = 2 times 4 = 8 e o do eixo menor é 2b = 2 times 2 = 4.

Passo 5

Para esboçar, vamos:
  1. Marcar o centro na origem.
  2. A partir do centro, no eixo y, marcar os pontos 0,4 e 0,-4 (extremos do eixo maior).
  3. No eixo x, marcar os pontos 2,0 e -2,0 (extremos do eixo menor).
  4. Desenhar uma elipse passando por esses pontos, mais alongada no eixo y.

Resposta

A equação 4x^2 + y^2 = 16 representa uma elipse centrada na origem, com eixo maior de comprimento 8 no eixo vertical e eixo menor de comprimento 4 no eixo horizontal. O esboço no plano cartesiano mostra uma elipse alongada verticalmente, passando pelos pontos (0,4), (0,-4), (2,0) e (-2,0).

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