Resolva as equações usando a transformada de Laplace
l y^prime prime+5 y^prime+4 y=0, y(0) =1, y^prime(0)=0

Passo 1

A questão pede que a gente resolva a EDO y''+5y'+4y=0 com y(0)=1 e y'(0)=0 usando transformada de Laplace. Isso envolve aplicar a transformada em cada termo, usar as propriedades de derivadas e depois fazer frações parciais para voltar ao domínio do tempo.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em toda a equação:
Ly'' + 5,Ly' + 4,Ly = L0 = 0
Agora usamos
Ly'' = s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0),
Ly' = sY(s) - y(0) e
Ly = Y(s), com y(0)=1 e y'(0)=0.

Passo 3

Substituindo essas expressões na equação transformada:
(s^2Y(s) - s) + 5(sY(s) - 1) + 4Y(s) = 0
Isso vira
Y(s)(s^2 + 5s + 4) - (s + 5) = 0
Logo
Y(s) = s + 5s^2 + 5s + 4 = s + 5(s + 1)(s + 4)

Passo 4

Fazemos frações parciais para Y(s):
s + 5(s + 1)(s + 4) = As+1 + Bs+4
Multiplicando,
s + 5 = A(s + 4) + B(s + 1).
Para s = -1: 4 = 3A A = tfrac43.
Para s = -4: 1 = -3B B = -tfrac13.

Passo 5

Usamos a transformada inversa sabendo que
L^-11/(s+1) = e^-t e
L^-11/(s+4) = e^-4t.
Então
y(t) = 43e^-t - 13e^-4t

Resposta

y(t) = 43e^-t - 13e^-4t

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