Identifique cada uma das cônicas abaixo, identificando seus principais elementos.
8 x^2+6 y^2=48

Passo 1

O enunciado dá a equação da cônica 8x^2 + 6y^2 = 48 e pede para identificar que tipo de cônica é e seus principais elementos (centro, eixos, vértices, focos, excentricidade e diretrizes). Vamos usar a teoria de transformações para colocar na forma padrão de uma elipse.

Passo 2

Primeiro, dividimos ambos os lados por 48 para obter a forma canônica:
x^26 + y^28 = 1
A forma acima mostra uma elipse centrada em (0,0) com eixos alinhados aos eixos coordenados, pois não há termos mistos nem de 1ª ordem.

Passo 3

Da forma canônica extraímos os semi-eixos: a^2 = 8 e b^2 = 6. Como a^2 > b^2, o eixo maior é vertical. Logo,
$$
a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}, \quad b = \sqrt{6}. a = raiz8 = 2raiz2, b = raiz6é
V_1 = (0, a) = (0, 2\sqrt{2}), \quad V_2 = (0, -2\sqrt{2}),$$
$$
V_3 = (b, 0) = (\sqrt{6}, 0), \quad V_4 = (-\sqrt{6}, 0). V1 = (0, a) = (0, 2raiz2), V2 = (0, -2raiz2),ã
c = \sqrt{2}, V3 = (b, 0) = (raiz6, 0), V4 = (-raiz6, 0)ã
F_1 = (0, \sqrt{2}), \quad F_2 = (0, -\sqrt{2}).
$$

Passo 4

A excentricidade vem de e = tfracca = tfracraiz22raiz2 = tfrac12
As diretrizes de uma elipse vertical são dadas por y = pm tfracae, portanto
$$
y = \pm \frac{2\sqrt{2}}{1/2} = \pm 4\sqrt{2}.$$

Resposta

É uma elipse centrada em (0,0) com semi-eixos de comprimentos a = 2√2 (vertical) e b = √6 (horizontal); vértices em (0,±2√2) e (±√6,0); focos em (0,±√2); excentricidade e = 1/2; diretrizes y = ±4√2.

Exercícios relacionados