Identifique cada uma das cônicas abaixo, identificando seus principais elementos.
Passo 1
O enunciado dá a equação da cônica
e pede para identificar que tipo de cônica é e seus principais elementos (centro, eixos, vértices, focos, excentricidade e diretrizes). Vamos usar a teoria de transformações para colocar na forma padrão de uma elipse.
Passo 2
Primeiro, dividimos ambos os lados por
para obter a forma canônica:
A forma acima mostra uma elipse centrada em
Passo 3
Da forma canônica extraímos os semi-eixos:
e
. Como
, o eixo maior é vertical. Logo,
$$
a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}, \quad b = \sqrt{6}.
V_1 = (0, a) = (0, 2\sqrt{2}), \quad V_2 = (0, -2\sqrt{2}),$$
$$
V_3 = (b, 0) = (\sqrt{6}, 0), \quad V_4 = (-\sqrt{6}, 0).
c = \sqrt{2},
F_1 = (0, \sqrt{2}), \quad F_2 = (0, -\sqrt{2}).
$$
Passo 4
A excentricidade vem de
As diretrizes de uma elipse vertical são dadas por , portanto
As diretrizes de uma elipse vertical são dadas por
$$
y = \pm \frac{2\sqrt{2}}{1/2} = \pm 4\sqrt{2}.$$
Resposta
É uma elipse centrada em (0,0) com semi-eixos de comprimentos a = 2√2 (vertical) e b = √6 (horizontal); vértices em (0,±2√2) e (±√6,0); focos em (0,±√2); excentricidade e = 1/2; diretrizes y = ±4√2.