Identifique cada série abaixo com uma série de encaixe ou uma série geométrica e calcule o valor da soma no caso de ela convergir.
(f) sumn=1^infty(12^n-2-13^n+2)

Passo 1

O enunciado pede para somar
sumn=1^inftyl(12^n-2 - 13^n+2r)
Cada parcela é da forma r^n (ou constante vezes r^n), ou seja, duas séries geométricas. Vamos usar que, para lvert rrvert<1,
sumn=1^inftyr^n = r1-r

Passo 2

Separamos a série em
sumn=1^infty12^n-2 e sumn=1^infty13^n+2
Reescrevendo as razões:
12^n-2 = 4l(tfrac12r)^n, 13^n+2 = 19l(tfrac13r)^n

Passo 3

A primeira série é
sumn=1^infty4l(tfrac12r)^n =4sumn=1^inftyl(tfrac12r)^n
Como r=tfrac12 e lvert rrvert<1,
sumn=1^inftyl(tfrac12r)^n = tfrac121-tfrac12 = 1,
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sumn=1^infty4l(tfrac12r)^n = 4

Passo 4

A segunda série é
sumn=1^infty19l(tfrac13r)^n =19sumn=1^inftyl(tfrac13r)^n
Aqui r=tfrac13 e
sumn=1^inftyl(tfrac13r)^n = tfrac131-tfrac13 = tfrac13tfrac23 = 12,
portanto
sumn=1^infty19l(tfrac13r)^n = 19cdot12 = 118

Passo 5

A série original é a diferença das duas somas:
sumn=1^inftyl(12^n-2 - 13^n+2r) = 4 - 118 = 7218 - 118 = 7118

Resposta

7118

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