Identifique cada série abaixo com uma série de encaixe ou uma série geométrica e calcule o valor da soma no caso de ela convergir.
(j)
(j)
Passo 1
O enunciado pede para identificar se a série
é uma série de encaixe (telescópica) ou geométrica e, caso convergente, calcular sua soma. Aqui vamos usar propriedades de logaritmo para transformar o termo geral em uma forma que “cancele” quando somarmos parcialmente, ou seja, é uma série de encaixe.
Passo 2
Usamos a identidade
e
para reescrever o termo geral:
Passo 3
Formamos a soma parcial
:
Separamos em três somas:
Passo 4
Observando que
vemos que quase todos os termos internos se cancelam e sobra
Passo 5
Fazendo
, temos
, logo
Portanto, a série converge.
Resposta
A série é de encaixe (telescópica) e sua soma é
.