Identifique cada série abaixo com uma série de encaixe ou uma série geométrica e calcule o valor da soma no caso de ela convergir.
(j) sumn=1^infty ln [(n+1)^2n(n+2)]

Passo 1

O enunciado pede para identificar se a série
sumn=1^infty ln!gl[(n+1)^2n,(n+2)gr]
é uma série de encaixe (telescópica) ou geométrica e, caso convergente, calcular sua soma. Aqui vamos usar propriedades de logaritmo para transformar o termo geral em uma forma que “cancele” quando somarmos parcialmente, ou seja, é uma série de encaixe.

Passo 2

Usamos a identidade ln(a^2)=2ln(a) e ln(tfracAB)=ln A-ln B para reescrever o termo geral:
ln!gl[(n+1)^2n,(n+2)gr] =2,ln(n+1);-;ln n;-;ln(n+2)

Passo 3

Formamos a soma parcial SN:
SN =sumn=1^Nl[2ln(n+1)-ln n-ln(n+2)r]
Separamos em três somas:
2sumn=1^Nln(n+1) ;-;sumn=1^Nln n ;-;sumn=1^Nln(n+2)

Passo 4

Observando que
sumn=1^Nln(n+1)=ln2+ln3+cdots+ln(N+1), sumn=1^Nln n=ln1+ln2+cdots+ln N,
sumn=1^Nln(n+2)=ln3+ln4+cdots+ln(N+2),
vemos que quase todos os termos internos se cancelam e sobra
SN =ln2 ;+;ln(N+1) ;-;ln(N+2) =ln!l[2,(N+1),N+2,r]

Passo 5

Fazendo Ntoinfty, temos tfracN+1N+2to1, logo
limNtoinftySN =ln!l[2cdot1r] =ln2
Portanto, a série converge.

Resposta

A série é de encaixe (telescópica) e sua soma é ln2.

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