Identifique a condição de contorno a partir da informação física:
SITUAÇÃO FÍSICA
TIPO DE CONTORNO
1- Ar a baixa velocidade escoando ao lado de uma parede
2- Água a alta velocidade escoando ao lado de uma parede
3- Sol batendo numa parede
4- Ar a alta velocidade escoando ao lado de uma parede
5- Sol batendo numa parede e ar a baixa velocidade escoando ao lado de uma parede
6- Temperatura constante na superfície da parede
7- Resistência elétrica colocada sobre uma parede
8- Convecção com coeficiente convectivo muito alto
9- Convecção com coeficiente convectivo baixo
a) primeira espécie
Passo 1
O enunciado dá uma lista de nove situações físicas (numeradas de 1 a 9) e pede, na parte (a), que se identifique quais dessas situações correspondem a uma condição de contorno de primeira espécie. Vou listar claramente as situações fornecidas:
Ar a baixa velocidade escoando ao lado de uma parede
Água a alta velocidade escoando ao lado de uma parede
Sol batendo numa parede
Ar a alta velocidade escoando ao lado de uma parede
Sol batendo numa parede e ar a baixa velocidade escoando ao lado de uma parede
Temperatura constante na superfície da parede
Resistência elétrica colocada sobre uma parede
Convecção com coeficiente convectivo muito alto
Convecção com coeficiente convectivo baixo
O que se pede nesta parte (a) é: identificar, dentre essas nove, quais representam uma condição de contorno de primeira espécie.
Passo 2
O que é uma condição de contorno de primeira espécie?
A condição de contorno de primeira espécie é também chamada de condição de tipo Dirichlet.
Em linguagem simples: é quando a temperatura na superfície está prescrito diretamente, ou seja, sabe-se exatamente o valor da temperatura na superfície.
Matematicamente, se T é a temperatura e S é a superfície, a condição Dirichlet é algo como
T|_{S} = T_s,
onde T_s é um valor conhecido/imposto.
Exemplos físicos puros de primeira espécie: uma parede mantida por um termostato a 30^\circC, ou uma superfície em contato com um reservatório térmico cuja temperatura não varia (superfície “forçada” a um valor).
Passo 3
Breve lembrete sobre outros tipos para comparar (assim fica mais fácil decidir):
Segunda espécie (Neumann): impõe fluxo de calor normal na superfície, por exemplo um fluxo de calor q vindo de radiação ou de uma resistência elétrica. Matematicamente:
- k \frac{\partial T}{\partial n}\Big|_{S} = q_n,
onde k é a condutividade térmica e \partial/\partial n é a derivada normal.
Terceira espécie (Robin, convectiva): modela convecção com fluido ambiente e impõe uma relação entre fluxo e diferença de temperatura:
- k \frac{\partial T}{\partial n}\Big|_{S} = h\bigl(T_s - T_\infty\bigr),
onde h é o coeficiente de convecção e T_\infty é a temperatura do fluido longe da parede. Importante:
No limite h \to 0 a condição convectiva reduz-se a fluxo nulo (-k \partial T/\partial n = 0), i.e., quase isolante (Neumann homogênea).
No limite h \to \infty a condição convectiva impõe T_s \to T_\infty, ou seja, a temperatura da superfície fica praticamente fixa igual à do fluido (aproximação Dirichlet):
\lim_{h\to\infty} h\bigl(T_s-T_\infty\bigr)\\ \text{faz com que}\\ T_s=T_\infty.
Passo 4
Agora analiso cada situação e concluo se ela é (ou aproxima) uma condição de primeira espécie (Dirichlet). Vou justificar bem devagar, linha a linha.
Ar a baixa velocidade escoando ao lado de uma parede.
Isso é uma situação de convecção com coeficiente convectivo pequeno. É modelada por condição de terceira espécie (Robin). Para h pequeno aproxima-se de Neumann homogênea, não de Dirichlet.
Conclusão: NÃO é primeira espécie.
Água a alta velocidade escoando ao lado de uma parede.
Trata-se também de convecção (terceira espécie). Alta velocidade geralmente aumenta h. Se h for apenas maior, continua sendo Robin; somente no limite de h\to\infty a condição aproxima-se de Dirichlet.
Como o enunciado diz apenas “alta velocidade” (sem dizer “coeficiente convectivo muito grande a ponto de fixar a temperatura”), isso é, em essência, convecção (terceira espécie). Pode aproximar Dirichlet se h for extremamente grande, mas não é claramente uma primeira espécie sem essa informação extra.
Conclusão: TIPICAMENTE NÃO classifica-se como primeira espécie (é Robin); se for explicitamente dito que h é muito grande, aí seria aproximável por Dirichlet — neste enunciado há ambiguidade.
Sol batendo numa parede.
Isso fornece um fluxo de calor incidente (radiação) sobre a superfície: condição do tipo fluxo imposto (Neumann, segunda espécie), ou combinação Neumann+Robin se houver também convecção.
Conclusão: NÃO é primeira espécie (é segunda espécie/fluxo).
Ar a alta velocidade escoando ao lado de uma parede.
Mesmo raciocínio do item 2: é convecção (terceira espécie). Alta velocidade aumenta h mas, sem especificar que h é “muito alto” a ponto de impor T_s=T_\infty, o correto é classificar como Robin.
Conclusão: NÃO é primeira espécie (salvo ambiguidade se se quisesse aproximar por Dirichlet).
Sol batendo numa parede e ar a baixa velocidade escoando ao lado de uma parede.
Combinação de fluxo incidente (radiação → Neumann) com convecção fraca (Robin com baixo h). No conjunto, não se tem temperatura prescrita fixa.
Conclusão: NÃO é primeira espécie.
Temperatura constante na superfície da parede.
Isto é a definição direta da condição de primeira espécie (Dirichlet): T|_S = \text{valor conhecido}.
Conclusão: SIM, é primeira espécie.
Resistência elétrica colocada sobre uma parede.
Uma resistência impõe um fornecimento de potência/fluxo térmico para a superfície (um fluxo por unidade de área), i.e., condição de Neumann (segunda espécie). A menos que a resistência seja controlada por um termostato que fixe T, mas o enunciado só diz “resistência elétrica colocada”, então interpreta-se entrega de calor (fluxo).
Conclusão: NÃO é primeira espécie (é segunda espécie).
Convecção com coeficiente convectivo muito alto.
Este caso foi tratado na explicação: a condição convectiva
- k \frac{\partial T}{\partial n} = h(T_s-T_\infty)
no limite h\to\infty força T_s \to T_\infty. Assim, fisicamente a superfície fica praticamente à temperatura do fluido ambiente, i.e., uma condição de temperatura prescrita — primeira espécie em boa aproximação.
Conclusão: SIM, corresponde (ou é bem aproximada por) primeira espécie.
Convecção com coeficiente convectivo baixo.
Para h muito pequeno, a condição convectiva tende a -k \partial T/\partial n = 0 (superfície praticamente isolante) — segunda espécie homogênea (Neumann nulo), não Dirichlet.
Conclusão: NÃO é primeira espécie.
Passo 5
Resumo e observações finais rápidas (tom motivador):
Regra prática: só marque como primeira espécie quando a temperatura na superfície estiver explicitamente fixa ou quando houver justificativa física muito forte (por exemplo h\to\infty) que force essa temperatura.
Em muitos casos de convecção “comum” (ar, água, alta ou baixa velocidade) o tipo correto é terceira espécie (Robin); só no limite extremo de h muito grande passa a ser, na prática, Dirichlet. Se o enunciado não fala “muito alto”, não se deve assumir Dirichlet sem aviso.
Resposta
6 — Temperatura constante na superfície da parede
8 — Convecção com coeficiente convectivo muito alto