Obtenha a derivada de cada função abaixo.
f(x)=10 x^{2}+5 x^{3}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=10x^{2}+5x^{3}
e pede a derivada f'(x). O conteúdo é derivada de polinômios, usando a regra do poder ( d(x^{n})/dx = n\,x^{n-1}), a regra da constante múltipla e a regra da soma.

Passo 2

Derivando o termo 10x^{2} pela regra do poder e da constante múltipla:
\frac{d}{dx}\bigl(10x^{2}\bigr) =10\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr) =10\cdot\bigl(2x^{2-1}\bigr) =20x.

Passo 3

Derivando o termo 5x^{3} de modo análogo:
\frac{d}{dx}\bigl(5x^{3}\bigr) =5\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr) =5\cdot\bigl(3x^{3-1}\bigr) =15x^{2}.

Passo 4

Pela regra da soma, somamos as duas derivadas:
f'(x)=20x+15x^{2}.
Opcionalmente, podemos fatorar:
f'(x)=5x\,(4+3x).

Resposta

f'(x)=20x+15x^{2}

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