Identifique as condições iniciais e/ou de contorno nos problemas abaixo indicando se o problema é um problema de Cauchy, de contorno ou misto. Indique também se alguma das funções dadas tem que satisfazer condições de compatibilidade.
\begin{aligned} & t^{2} u_{x x}+x u_{t}-u=f(x, t), \quad t>0, \quad x \in(0,1) \\\ & u(0, t)=\alpha(t), u(1, t)=\beta(t), \quad t \geq 0 \\\ & u(x, 0)=\gamma(x), \quad x \in[0,1] \end{aligned}

Passo 1

O enunciado apresenta a equação
t^{2}\,u_{xx}+x\,u_{t}-u=f(x,t),\quad t>0,\;x\in(0,1),
juntamente com as condições
u(0,t)=\alpha(t),\;u(1,t)=\beta(t),\quad t\ge0,
e
u(x,0)=\gamma(x),\quad x\in[0,1].
O conteúdo é classificação de um problema de valor inicial e de contorno para uma PDE com segunda derivada em x e primeira em t.

Passo 2

As condições
u(0,t)=\alpha(t),\quad u(1,t)=\beta(t)
são condições de contorno do tipo Dirichlet ao longo das bordas x=0 e x=1, válidas para todo t\ge0.

Passo 3

A condição
u(x,0)=\gamma(x)
é a condição inicial, prescrita em toda a “linha” t=0, para x\in[0,1].

Passo 4

Como há simultaneamente uma condição inicial em t=0 e duas condições de contorno em x=0,1, trata-se de um problema inicial-contorno (misto). Não é um problema puramente de Cauchy (que só teria condição inicial), nem um problema estacionário de contorno (sem dado em t).

Passo 5

Para garantir que a solução seja contínua nos vértices (x,t)=(0,0) e (1,0), as funções devem satisfazer as condições de compatibilidade
\gamma(0)=\alpha(0), \quad \gamma(1)=\beta(0).

Resposta

O problema é misto (inicial-contorno) com condição inicial \,u(x,0)=\gamma(x)\, e contorno de Dirichlet \,u(0,t)=\alpha(t),\,u(1,t)=\beta(t). Há compatibilidade obrigatória em
\gamma(0)=\alpha(0), \quad \gamma(1)=\beta(0).

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