Identifique as condições iniciais e/ou de contorno nos problemas abaixo indicando se o problema é um problema de Cauchy, de contorno ou misto. Indique também se alguma das funções dadas tem que satisfazer condições de compatibilidade.
3.
3.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial parcial e as condições iniciais:
com as condições iniciais
As perguntas que precisamos responder são:
- Quais são as condições iniciais e/ou de contorno dadas?
- O problema é um problema de Cauchy (valor inicial), de contorno (valor em fronteira) ou misto?
- Alguma das funções dadas (isto é,
ou ) precisa satisfazer condições de compatibilidade — e quais?
Passo 2
Identificar o tipo de problema a partir das informações dadas.
Temos dados os valores de e de
na superfície inicial
para todo
. Isso é exatamente um conjunto de condições iniciais (valor de função e de sua derivada temporal na superfície inicial), sem menção a condições espaciais na fronteira em
. Portanto este é um problema de Cauchy (problema de valor inicial) e não um problema de contorno nem um problema misto.
Temos dados os valores de
Passo 3
Explicar por que pode ser necessário exigir condições de compatibilidade entre
e
.
Quando se especifica e
na superfície inicial
, para que exista uma solução suficientemente suave que satisfaça a equação também em
é necessário que os dados iniciais sejam compatíveis com a equação na superfície
. Em particular, se a equação contém derivadas mistas como
e se as derivadas de ordem superior aparecem multiplicadas por funções que se anulam em
, pode surgir uma relação entre
e
obtida ao avaliar a PDE em
. Para escrever e interpretar essa relação precisamos assumir alguma regularidade: pelo menos
deve ser diferenciável em
e em
de forma que sejam bem definidas
e
.
Quando se especifica
Passo 4
Avaliar a PDE na superfície inicial
para obter a condição de compatibilidade.
Substituindo na equação dada, cada termo com fator explícito
ou
se anula. Assim, na superfície
resta
Substituindo
Como
e usando
e
, obtemos a relação
que é uma condição necessária para que uma solução suficientemente suave satisfaça a PDE em
.
Passo 5
Analisar a condição de compatibilidade e as consequências.
A equação de compatibilidade é
A equação de compatibilidade é
Observando essa igualdade no ponto
dá
o que é impossível. Portanto não existem funções
e
, suficientemente regulares, que satisfaçam essa condição para todo
. Em outras palavras, com a formulação dada (domínio
e PDE válida até
), os dados iniciais não podem ser arbitrários: a compatibilidade exigida pela PDE em
é inconsistente no ponto
. Isso indica que, da forma apresentada, não há solução suave definida até
com
variando por toda
.
Passo 6
Interpretação prática e alternativas.
- Conclusão direta: o problema é um problema de Cauchy (valor inicial).
- Há uma condição de compatibilidade necessária dada por
para onde a avaliação é válida. - Como essa condição é contraditória em
, não existem dados regulares que satisfaçam-na em todo . Para obter um problema bem-formulado pode ser necessário: - restringir o domínio espacial para
(ou para um domínio que não contenha ), ou - alterar a forma como se impõe a equação/condições em
(por exemplo aceitar que a equação não seja exigida exatamente em ou permitir singularidades nos dados), ou - fornecer condições de contorno adicionais que torne a formulação consistente.
- restringir o domínio espacial para
Resposta
O problema é um problema de Cauchy (valor inicial), pois foram dadas
e
em toda a linha
.
A condição de compatibilidade necessária, obtida ao avaliar a PDE em , é
A condição de compatibilidade necessária, obtida ao avaliar a PDE em
Essa condição é inconsistente em
(dá
), logo não existem
suficientemente regulares que satisfaçam-na em todo
; é preciso restringir o domínio ou modificar a formulação para obter consistência.