Identifique as condições iniciais e/ou de contorno nos problemas abaixo indicando se o problema é um problema de Cauchy, de contorno ou misto. Indique também se alguma das funções dadas tem que satisfazer condições de compatibilidade.
3.
\begin{aligned} & t u_{x x}+2 x u_{x t}-t u_{t t}+x^{2} u_{x}+t^{2} u_{t}=e^{x} \cos t, \quad t>0 \\ & u(x, 0)=f(x), \quad u_{t}(x, 0)=g(x), \quad x \in \mathbb{R} . \end{aligned}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial parcial e as condições iniciais:
t\,u_{x x}+2 x\,u_{x t}-t\,u_{t t}+x^{2}u_{x}+t^{2}u_{t}=e^{x}\cos t,\qquad t>0,
com as condições iniciais
u(x,0)=f(x),\qquad u_{t}(x,0)=g(x),\qquad x\in\mathbb{R}.
As perguntas que precisamos responder são:
  • Quais são as condições iniciais e/ou de contorno dadas?
  • O problema é um problema de Cauchy (valor inicial), de contorno (valor em fronteira) ou misto?
  • Alguma das funções dadas (isto é, f ou g) precisa satisfazer condições de compatibilidade — e quais?

Passo 2

Identificar o tipo de problema a partir das informações dadas.
Temos dados os valores de u e de u_{t} na superfície inicial t=0 para todo x\in\mathbb{R}. Isso é exatamente um conjunto de condições iniciais (valor de função e de sua derivada temporal na superfície inicial), sem menção a condições espaciais na fronteira em x. Portanto este é um problema de Cauchy (problema de valor inicial) e não um problema de contorno nem um problema misto.

Passo 3

Explicar por que pode ser necessário exigir condições de compatibilidade entre f e g.
Quando se especifica u e u_{t} na superfície inicial t=0, para que exista uma solução suficientemente suave que satisfaça a equação também em t=0 é necessário que os dados iniciais sejam compatíveis com a equação na superfície t=0. Em particular, se a equação contém derivadas mistas como u_{x t} e se as derivadas de ordem superior aparecem multiplicadas por funções que se anulam em t=0, pode surgir uma relação entre f e g obtida ao avaliar a PDE em t=0. Para escrever e interpretar essa relação precisamos assumir alguma regularidade: pelo menos u deve ser diferenciável em t e em x de forma que sejam bem definidas u_x(x,0)=f'(x) e u_{x t}(x,0)=\partial_x(u_t)(x,0)=g'(x).

Passo 4

Avaliar a PDE na superfície inicial t=0 para obter a condição de compatibilidade.
Substituindo t=0 na equação dada, cada termo com fator explícito t ou t^{2} se anula. Assim, na superfície t=0 resta
2x\,u_{x t}(x,0)+x^{2}u_{x}(x,0)=e^{x}\cos 0.
Como \cos 0=1 e usando u_{x}(x,0)=f'(x) e u_{x t}(x,0)=\partial_x(u_t)(x,0)=g'(x), obtemos a relação
2x\,g'(x)+x^{2}f'(x)=e^{x},\qquad x\in\mathbb{R},
que é uma condição necessária para que uma solução suficientemente suave satisfaça a PDE em t=0.

Passo 5

Analisar a condição de compatibilidade e as consequências.
A equação de compatibilidade é
2x\,g'(x)+x^{2}f'(x)=e^{x}.
Observando essa igualdade no ponto x=0
0\cdot g'(0)+0\cdot f'(0)=e^{0}\quad\Longrightarrow\quad 0=1,
o que é impossível. Portanto não existem funções f e g, suficientemente regulares, que satisfaçam essa condição para todo x\in\mathbb{R}. Em outras palavras, com a formulação dada (domínio x\in\mathbb{R},\,t\ge0 e PDE válida até t=0), os dados iniciais não podem ser arbitrários: a compatibilidade exigida pela PDE em t=0 é inconsistente no ponto x=0. Isso indica que, da forma apresentada, não há solução suave definida até t=0 com x variando por toda \mathbb{R}.

Passo 6

Interpretação prática e alternativas.
  • Conclusão direta: o problema é um problema de Cauchy (valor inicial).
  • Há uma condição de compatibilidade necessária dada por \;2x\,g'(x)+x^{2}f'(x)=e^{x}\; para x onde a avaliação é válida.
  • Como essa condição é contraditória em x=0, não existem dados f,g regulares que satisfaçam-na em todo \mathbb{R}. Para obter um problema bem-formulado pode ser necessário:
    • restringir o domínio espacial para \mathbb{R}\setminus\{0\} (ou para um domínio que não contenha x=0), ou
    • alterar a forma como se impõe a equação/condições em t=0 (por exemplo aceitar que a equação não seja exigida exatamente em t=0 ou permitir singularidades nos dados), ou
    • fornecer condições de contorno adicionais que torne a formulação consistente.

Resposta

O problema é um problema de Cauchy (valor inicial), pois foram dadas u(x,0)=f(x) e u_{t}(x,0)=g(x) em toda a linha x\in\mathbb{R}.
A condição de compatibilidade necessária, obtida ao avaliar a PDE em t=0, é
2x\,g'(x)+x^{2}f'(x)=e^{x},\qquad x\in\mathbb{R}.
Essa condição é inconsistente em x=0 (dá 0=1), logo não existem f,g suficientemente regulares que satisfaçam-na em todo \mathbb{R}; é preciso restringir o domínio ou modificar a formulação para obter consistência.

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