Diga se as integrais dadas são convergentes ou divergentes, justificando sua resposta.
\int_{0}^{1} \frac{\cos ^{4} x}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a integral
\int_{0}^{1} \frac{\cos^{4} x}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x
é convergente ou divergente e justificar a resposta. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O intervalo de integração é [0,1].
  • A função integrando é f(x)=\dfrac{\cos^{4}x}{\sqrt{x}}.
  • Há um problema potencial em x=0 porque aparece \sqrt{x} no denominador (ou seja, singularidade em x=0).
  • Para x\in(0,1] a função \cos^{4}x é contínua e limitada, portanto a única possível impropriedade é em x=0.

Passo 2

Explicação da ideia de integral imprópria e do critério de p-integral (ferramenta que vamos usar).
  • Uma integral com singularidade em 0 é entendida como limite:
\int_{0}^{1} \frac{\cos^{4}x}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x =\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}\int_{\varepsilon}^{1}\frac{\cos^{4}x}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x,
isto é, integramos salvo um pequeno vizinho de 0 e depois tomamos o limite.
  • A p-integral é a integral
\int_{0}^{1} x^{-\alpha}\,\mathrm{d}x.
Calculando a primitiva, para \alpha\neq 1 temos
\int_{\varepsilon}^{1} x^{-\alpha}\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha}\right]_{\varepsilon}^{1} = \frac{1}{1-\alpha}\big(1-\varepsilon^{\,1-\alpha}\big).
Ao fazer \varepsilon\to 0^{+} esse limite é finito se, e só se, 1-\alpha>0, ou seja, se \alpha<1. Portanto:
  • Se \alpha<1 então \int_{0}^{1} x^{-\alpha}\,\mathrm{d}x converge.
  • Se \alpha\ge 1 então diverge.
  • Exemplo útil: para \alpha=\tfrac{1}{2} obtemos
\int_{0}^{1} x^{-1/2}\,\mathrm{d}x=\left[2x^{1/2}\right]_{0}^{1}=2,
ou seja, é convergente.

Passo 3

Comparação entre a função do enunciado e uma p-integral integrável.
  • Observação simples: para todo x real temos -1\le \cos x\le 1, então
0\le \cos^{4}x \le 1 \quad\text{para todo }x.
  • Portanto, para x\in(0,1] vale
0\le \frac{\cos^{4}x}{\sqrt{x}} \le \frac{1}{\sqrt{x}}.
  • Como vimos no passo anterior, a função x\mapsto x^{-1/2} tem integral finita em (0,1]:
\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x = 2 < +\infty.
  • Usamos, então, o teste da comparação para integrais impróprias: se 0\le f(x)\le g(x) em (0,1] e \int_{0}^{1} g(x)\,\mathrm{d}x converge, então \int_{0}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x também converge.

Passo 4

Conclusão usando a comparação.
  • Tomando f(x)=\dfrac{\cos^{4}x}{\sqrt{x}} e g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}, temos 0\le f(x)\le g(x) e \int_{0}^{1} g(x)\,\mathrm{d}x=2 finito.
  • Pelo teste da comparação, segue que
\int_{0}^{1} \frac{\cos^{4}x}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x
converge.

Resposta

Convergente.

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