Diga se as integrais dadas são convergentes ou divergentes, justificando sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a integral
é convergente ou divergente e justificar a resposta. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O intervalo de integração é
. - A função integrando é
. - Há um problema potencial em
porque aparece no denominador (ou seja, singularidade em ). - Para
a função é contínua e limitada, portanto a única possível impropriedade é em .
Passo 2
Explicação da ideia de integral imprópria e do critério de p-integral (ferramenta que vamos usar).
- Uma integral com singularidade em
é entendida como limite:
isto é, integramos salvo um pequeno vizinho de
e depois tomamos o limite.
- A p-integral é a integral
Calculando a primitiva, para
temos
Ao fazer
esse limite é finito se, e só se,
, ou seja, se
. Portanto:
- Se
então converge. - Se
então diverge. - Exemplo útil: para
obtemos
ou seja, é convergente.
Passo 3
Comparação entre a função do enunciado e uma p-integral integrável.
- Observação simples: para todo
real temos , então
- Portanto, para
vale
- Como vimos no passo anterior, a função
tem integral finita em :
- Usamos, então, o teste da comparação para integrais impróprias: se
em e converge, então também converge.
Passo 4
Conclusão usando a comparação.
- Tomando
e , temos e finito. - Pelo teste da comparação, segue que
converge.
Resposta
Convergente.