Identifique as cônicas abaixo e esboce seus gráficos:
9 x^2-18 x+4 y^2=27;

Passo 1

O enunciado nos dá a equação da cônica 9x² – 18x + 4y² = 27. Aqui estamos lidando com cônicas de segunda ordem, e o objetivo é identificar se é elipse, hipérbole ou parábola. Para isso, precisamos completar o quadrado nos termos de x e colocar a equação em forma canônica.

Passo 2

Primeiro agrupamos os termos em x e em y e completamos o quadrado em x. Escrevemos:
9(x² – 2x) + 4y² = 27
Dentro do parêntese, temos x² – 2x = (x – 1)² – 1. Substituindo:
9[(x – 1)² – 1] + 4y² = 27
9(x – 1)² – 9 + 4y² = 27

Passo 3

Agora isolamos a parte quadrática e igualamos a 1 para obter a forma canônica. Somamos 9 em ambos os lados:
9(x – 1)² + 4y² = 36
Em seguida dividimos por 36:
(x 1)²4 + y²9 = 1 ²²
Essa é a forma canônica de uma elipse.

Passo 4

Da forma canônica podemos extrair os parâmetros: centro em C(1,0). Como os denominadores são 4 e 9, o semieixo maior (a) é 3 (raiz de 9) na direção y, e o semieixo menor (b) é 2 (raiz de 4) na direção x. Os vértices ao longo do eixo maior são (1,3) e (1,–3) e os co-vértices (pontos do eixo menor) são (3,0) e (–1,0). No esboço, marcamos esses quatro pontos e desenhamos a elipse centrada em (1,0).

Resposta

Elipse centrada em (1,0) com semieixo horizontal b = 2 e semieixo vertical a = 3, equação canônica: (x 1)^24 + y^29 = 1.

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