Se sumn=0^infty an z^n é a série de potências de 1+z1-z em torno de z0=0, determine o valor de a3.
e) -1 / 2.

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente a3 na expansão em série de potências em torno de zero de f(z)=1+z1-z. Vamos usar o desenvolvimento da série geométrica e manipular para encontrar a3.

Passo 2

Sabemos que para |z|<1 vale
11-z=sumn=0^inftyz^n

Passo 3

Então
f(z)=1+z1-z=(1+z)sumn=0^inftyz^n=sumn=0^inftyz^n+sumn=0^inftyz^n+1

Passo 4

Reescrevendo a segunda soma com índice adequado:
sumn=0^inftyz^n+1=summ=1^inftyz^m

Passo 5

Logo
f(z)=z^0+sumn=1^inftyz^n+sumn=1^inftyz^n=1+2sumn=1^inftyz^n=1+2z+2z^2+2z^3+cdots

Passo 6

Dessa forma, para todo n>=1 temos an=2. Portanto,
o coeficiente a3 é 2.

Resposta

2

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