Mostre que o
é isomorfo ao subespaço
do
. (Sugestão: encontre uma transformação linear bijetora entre esses espaços)
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que o espaço vetorial
é isomorfo ao subespaço
Em teoria de espaços vetoriais, dizer que dois espaços são isomorfos significa que existe uma transformação linear bijetora entre eles. Vamos então encontrar uma transformação linear
e mostrar que ela é linear, injetora e sobrejetora.
Passo 2
Definimos a transformação
da seguinte forma: para todo
,
Observe que
pertence a
, já que a terceira coordenada foi fixada em zero.
Passo 3
Verificamos a linearidade de
. Sejam
e
vetores em
e
. Então
e
Também
Logo,
é linear.
Passo 4
Mostramos que
é bijetora.
-
Injetividade: se
, então , o que força e . Portanto, o núcleo de é trivial e é injetora. -
Sobrejetividade: seja
. Basta tomar em . Então
mostrando que todo vetor de
tem origem em
. Assim,
é sobrejetora.
Passo 5
Como
é linear, injetora e sobrejetora, concluímos que é um isomorfismo de espaços vetoriais. A inversa de
é a aplicação
Resposta
O isomorfismo é dado por
que é linear e bijetora, com inversa
. Portanto
.