Mostre que o R^2 é isomorfo ao subespaço U=(x, y, z) in R^3 mid z=0 do R^3. (Sugestão: encontre uma transformação linear bijetora entre esses espaços)

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o espaço vetorial R^2 é isomorfo ao subespaço
U = (x,y,z)inR^3 mid z=0
Em teoria de espaços vetoriais, dizer que dois espaços são isomorfos significa que existe uma transformação linear bijetora entre eles. Vamos então encontrar uma transformação linear
T: R^2 to U
e mostrar que ela é linear, injetora e sobrejetora.

Passo 2

Definimos a transformação T da seguinte forma: para todo (x,y)inR^2,
T(x,y) = (x,,y,,0)
Observe que T(x,y) pertence a U, já que a terceira coordenada foi fixada em zero.

Passo 3

Verificamos a linearidade de T. Sejam (x1,y1) e (x2,y2) vetores em R^2 e alphainR. Então
Tl((x1,y1)+(x2,y2)r) = T(x1+x2,,y1+y2) = (x1+x2,,y1+y2,,0)
e
T(x1,y1) + T(x2,y2) = (x1,y1,0) + (x2,y2,0) = (x1+x2,,y1+y2,,0)
Também
Tl(alpha,(x1,y1)r) = T(alpha x1,,alpha y1) = (alpha x1,,alpha y1,,0) = alpha,(x1,y1,0) = alpha,T(x1,y1)
Logo, T é linear.

Passo 4

Mostramos que T é bijetora.
  1. Injetividade: se T(x,y)=(0,0,0), então (x,y,0)=(0,0,0), o que força x=0 e y=0. Portanto, o núcleo de T é trivial e T é injetora.
  2. Sobrejetividade: seja (a,b,0)in U. Basta tomar (x,y)=(a,b) em R^2. Então
T(a,b) = (a,b,0),
mostrando que todo vetor de U tem origem em R^2. Assim, T é sobrejetora.

Passo 5

Como T é linear, injetora e sobrejetora, concluímos que é um isomorfismo de espaços vetoriais. A inversa de T é a aplicação
T^-1:UtoR^2, T^-1(x,y,0) = (x,y)

Resposta

O isomorfismo é dado por
T:R^2to U, T(x,y)=(x,y,0),
que é linear e bijetora, com inversa T^-1(x,y,0)=(x,y). Portanto R^2cong U.

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