Identifique a cônica que passa nos pontos A(1,1), B(2,3), C(3,-1), D(-3,2) e E(-2,-1).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a equação da cônica que passa pelos cinco pontos
A(1,1), B(2,3), C(3,-1), D(-3,2), E(-2,-1)
Como em geral uma cônica é dada por
ax^2 + b,xy + c,y^2 + d,x + e,y + f = 0,
vamos determinar os coeficientes a,b,c,d,e,f impondo que cada um dos cinco pontos satisfaça essa equação.

Passo 2

Substituindo cada ponto na forma geral obtemos o sistema linear homogêneo em a,b,c,d,e,f:
  1. Para A(1,1):
a + b + c + d + e + f = 0
  1. Para B(2,3):
4a + 6b + 9c + 2d + 3e + f = 0
  1. Para C(3,-1):
9a -3b + c + 3d - e + f = 0
  1. Para D(-3,2):
9a -6b +4c -3d +2e + f = 0
  1. Para E(-2,-1):
4a +2b + c -2d - e + f = 0

Passo 3

Para eliminar f, subtraímos a primeira equação de cada uma das outras quatro, obtendo o sistema em (a,b,c,d,e):
3a+5b+8c +d+2e =0, 8a-4b +2d-2e =0, 8a-7b+3c -4d+ e =0, 3a+ b -3d-2e =0

Passo 4

Da segunda linha temos
4a -2b + d - e = 0 Longrightarrow d = e + 2b - 4a
Da quarta linha segue
3a + b -3d -2e = 0 Longrightarrow e = 3a - b
Substituindo e em d
d = (3a - b) +2b -4a = -a + b

Passo 5

Inserindo d e e na primeira linha reduzida
3a+5b+8c +d+2e =0
obtemos
8c = -3a -5b -d -2e = -3a -5b -(-a+b) -2(3a-b) = -8a -4b,
logo
c = -a - b2
Finalmente, da terceira linha reduzida
8a -7b +3c -4d + e = 0
substituindo c,d,e chega-se a
24a -27b = 0 Longrightarrow b = 89,a

Passo 6

Em função de a temos então
b=tfrac89a, c=-a-tfracb2=-tfrac139a, d=-a+b=-tfrac19a, e=3a-b=tfrac199a,
e f sai da primeira equação como
f = -l(a+b+c+d+er) = -tfrac229a
Multiplicando tudo por 9/a (escala livre) temos a forma limpa
9x^2 +8xy -13y^2 -x +19y -22 =0

Passo 7

Para classificar, calculamos o discriminante da parte quadrática:
De<a = b^2 - 4ac = 8^2 -4cdot9cdot(-13) = 64 +468 = 532 >0,
logo a cônica é uma hipérbole.

Resposta

A cônica é a hipérbole dada por
boxed9x^2 +8xy -13y^2 -x +19y -22 = 0

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