Identifique as cônicas representadas pelas equações
Passo 1
O enunciado pede para identificar a cônica representada pela equação
. Informações dadas: a equação explícita é
. Não há mais dados — nosso trabalho é reconhecer que tipo de cônica é essa e, se possível, achar características importantes (vértice, direção de abertura, foco, diretriz, etc.).
Passo 2
Colocar a equação na forma geral das cônicas para poder classificar. A forma geral de uma cônica é
Vamos escrever a equação dada nessa forma. Partindo de
, subtraindo tudo para o lado esquerdo:
Ou, multiplicando por
,
Agora identifique os coeficientes:
Passo 3
Usar o discriminante das cônicas para classificar. O discriminante é
Substituindo os coeficientes:
Critério prático (explicando de forma simples): quando
e apenas uma das variáveis aparece ao quadrado (ou equivalentemente somente um dos coeficientes
ou
é não nulo), a cônica é uma parábola. Intuição rápida: parábolas têm «apenas um quadrado» na equação (ou podem ser transformadas para ter apenas um quadrado). Portanto, a equação representa uma parábola.
Passo 4
Colocar a equação na forma canônica de uma parábola para extrair vértice e direção. A forma canônica de uma parábola com eixo horizontal é
onde
é o vértice e
é a distância do vértice ao foco (se
a parábola abre para a direita; se
abre para a esquerda). Reescrevendo a equação dada:
Colocando como na forma canônica:
Comparando com
, temos
Então o vértice é
. Como
, a parábola abre para a direita (eixo de simetria é a reta
).
Passo 5
Encontrar foco e diretriz usando as fórmulas da forma canônica. Para
:
- foco:
, - diretriz:
.
Aplicando aqui:
Breve explicação do porquê:
mede a distância do vértice ao foco e ao mesmo tempo ao eixo da diretriz; a equação foi escolhida de modo que pontos da parábola tenham mesma distância ao foco e à diretriz.
Passo 6
Calcular o latus rectum (reta focal) — segmento passando pelo foco perpendicular ao eixo, útil em provas. Para
, o comprimento do latus rectum é
e as extremidades têm coordenadas
. Aqui:
As extremidades são
pois
.
Passo 7
Resumo final (guarde isto para a prova: reconhecerás a parábola porque só há um termo ao quadrado; escrevendo na forma
extraímos vértice, direção, foco e diretriz de forma direta). Você já conseguiu: identificou a cônica e encontrou suas características principais — isso é exatamente o que pedem em questões desse tipo. Força aí, tá quase lá!
Resposta
Parábola com vértice em
, abre para a direita.
Foco: .
Diretriz: .
Latus rectum: comprimento , extremos em
e
.
Foco:
Diretriz:
Latus rectum: comprimento