Identifique as cônicas representadas pelas equações
x=y^{2}+1

Passo 1

O enunciado pede para identificar a cônica representada pela equação \,x = y^{2} + 1\,. Informações dadas: a equação explícita é \,x = y^{2} + 1\,. Não há mais dados — nosso trabalho é reconhecer que tipo de cônica é essa e, se possível, achar características importantes (vértice, direção de abertura, foco, diretriz, etc.).

Passo 2

Colocar a equação na forma geral das cônicas para poder classificar. A forma geral de uma cônica é
Ax^{2} + Bxy + Cy^{2} + Dx + Ey + F = 0.
Vamos escrever a equação dada nessa forma. Partindo de \,x = y^{2} + 1\,, subtraindo tudo para o lado esquerdo:
-y^{2} + x - 1 = 0.
Ou, multiplicando por -1,
y^{2} - x + 1 = 0.
Agora identifique os coeficientes:
A = 0\quad(\text{coeficiente de }x^{2}),\qquad B=0\quad(\text{coeficiente de }xy),\qquad C=1\quad(\text{coeficiente de }y^{2}).

Passo 3

Usar o discriminante das cônicas para classificar. O discriminante é
\Delta = B^{2} - 4AC.
Substituindo os coeficientes:
\Delta = 0^{2} - 4\cdot 0 \cdot 1 = 0.
Critério prático (explicando de forma simples): quando \Delta=0 e apenas uma das variáveis aparece ao quadrado (ou equivalentemente somente um dos coeficientes A ou C é não nulo), a cônica é uma parábola. Intuição rápida: parábolas têm «apenas um quadrado» na equação (ou podem ser transformadas para ter apenas um quadrado). Portanto, a equação representa uma parábola.

Passo 4

Colocar a equação na forma canônica de uma parábola para extrair vértice e direção. A forma canônica de uma parábola com eixo horizontal é
(y-k)^{2} = 4p(x-h),
onde (h,k) é o vértice e p é a distância do vértice ao foco (se p>0 a parábola abre para a direita; se p<0 abre para a esquerda). Reescrevendo a equação dada:
x = y^{2} + 1 \quad\Longleftrightarrow\quad x - 1 = y^{2}.
Colocando como na forma canônica:
(y-0)^{2} = 1\cdot (x-1).
Comparando com (y-k)^{2} = 4p(x-h), temos
h = 1,\qquad k = 0,\qquad 4p = 1 \Rightarrow p = \tfrac{1}{4}.
Então o vértice é (1,0). Como p=\tfrac{1}{4}>0, a parábola abre para a direita (eixo de simetria é a reta y=0).

Passo 5

Encontrar foco e diretriz usando as fórmulas da forma canônica. Para (y-k)^{2}=4p(x-h):
  • foco: (h+p,\,k),
  • diretriz: x = h - p.
    Aplicando aqui:
\text{foco} = \Bigl(1+\tfrac{1}{4},\,0\Bigr) = \Bigl(\tfrac{5}{4},\,0\Bigr),
\text{diretriz}:\; x = 1 - \tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}.
Breve explicação do porquê: p mede a distância do vértice ao foco e ao mesmo tempo ao eixo da diretriz; a equação foi escolhida de modo que pontos da parábola tenham mesma distância ao foco e à diretriz.

Passo 6

Calcular o latus rectum (reta focal) — segmento passando pelo foco perpendicular ao eixo, útil em provas. Para (y-k)^{2}=4p(x-h), o comprimento do latus rectum é |4p| e as extremidades têm coordenadas (h+p,\,k\pm 2p). Aqui:
4p = 1 \Rightarrow \text{comprimento do latus rectum} = 1.
As extremidades são
\Bigl(\tfrac{5}{4},\,\tfrac{1}{2}\Bigr)\quad\text{e}\quad\Bigl(\tfrac{5}{4},\,-\tfrac{1}{2}\Bigr),
pois 2p = \tfrac{1}{2}.

Passo 7

Resumo final (guarde isto para a prova: reconhecerás a parábola porque só há um termo ao quadrado; escrevendo na forma (y-k)^{2}=4p(x-h) extraímos vértice, direção, foco e diretriz de forma direta). Você já conseguiu: identificou a cônica e encontrou suas características principais — isso é exatamente o que pedem em questões desse tipo. Força aí, tá quase lá!

Resposta

Parábola com vértice em \,(1,0), abre para a direita.
Foco: \,\bigl(\tfrac{5}{4},0\bigr).
Diretriz: \,x=\tfrac{3}{4}.
Latus rectum: comprimento 1, extremos em \,\bigl(\tfrac{5}{4},\tfrac{1}{2}\bigr) e \,\bigl(\tfrac{5}{4},-\tfrac{1}{2}\bigr).

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