Identifique as cônicas representadas pelas equações
2 x^{2}-5 y^{2}=10

Passo 1

O enunciado dá a equação
2x^{2}-5y^{2}=10
e pede para identificar a cônica representada por essa equação. Informações relevantes fornecidas:
\;2x^{2}-5y^{2}=10 (uma única equação em x e y).
A pergunta é: qual é a cônica (tipo, e — se possível — suas características principais como centro, eixos, vértices, focos e assíntotas)?

Passo 2

Primeira observação simples e útil: olhar os coeficientes dos termos quadráticos. Se tivéssemos uma equação geral do tipo
Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+\dots=0,
uma forma rápida de classificar é verificar os sinais de A e C quando B=0. Aqui temos A=2 e C=-5. Eles têm sinais opostos (um positivo e outro negativo). Isso é um grande indício de que a curva é uma hipérbole. Vou explicar por quê com calma.

Passo 3

Por que sinais opostos indicam hipérbole? Intuição didática: se você dividir toda a equação por uma constante positiva para obter o termo independente igual a 1, você terá algo do tipo
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad\text{ou}\quad -\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.
Essas são as formas padrão das hipérboles centradas na origem, onde um quadrado aparece com sinal positivo e o outro com sinal negativo. Parábola teria apenas um termo quadrático, elipse/círculo teriam os dois termos com mesmo sinal e sinais positivos (ou ambos negativos, dependendo do lado da igualdade). Então concluímos hipérbole.

Passo 4

Colocando a equação na forma padrão: dividimos toda a equação por 10 (constante do lado direito) para isolar o 1 no lado direito:
\frac{2x^{2}}{10}-\frac{5y^{2}}{10}=1.
Simplificando cada fração:
\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{2}=1.
Essa é a forma padrão de uma hipérbole centrada na origem com o termo positivo em x^{2}, ou seja,
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
onde, comparando, temos \;a^{2}=5 e \;b^{2}=2.

Passo 5

A partir de \;a^{2}=5 e \;b^{2}=2 podemos extrair quantidades importantes:
  • a=\sqrt{5}.
  • b=\sqrt{2}.
Vértices: para a forma \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 os vértices estão em (\pm a,0). Portanto os vértices são
(\sqrt{5},0)\quad\text{e}\quad(-\sqrt{5},0).

Passo 6

Focos: para hipérbole padrão com eixo transverso no eixo x usa-se a relação
c^{2}=a^{2}+b^{2}.
Explicação rápida dessa fórmula: geometria da hipérbole mostra que a distância focal c se relaciona com os semieixos por c^{2}=a^{2}+b^{2} (é análogo à elipse, mas com soma em vez de diferença). Aplicando:
c^{2}=5+2=7,
logo
c=\sqrt{7}.
Os focos ficam em (\pm c,0), isto é,
(\sqrt{7},0)\quad\text{e}\quad(-\sqrt{7},0).

Passo 7

Assíntotas: para a hipérbole \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 as assíntotas são retas passando pela origem com equações
y=\pm\frac{b}{a}\,x.
Aqui
\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{2}{5}}.
Portanto as assíntotas são
y=\pm\sqrt{\frac{2}{5}}\,x.

Passo 8

Resumo físico da curva (para você interpretar na prova): é uma hipérbole centrada na origem, com eixo transverso ao longo do eixo x. Isso significa que os “galhos” da hipérbole abrem para a direita e para a esquerda (não para cima/baixo), com vértices em (\pm\sqrt{5},0), focos em (\pm\sqrt{7},0) e assíntotas dadas acima.

Resposta

Hipérbole centrada na origem com equação padrão \dfrac{x^{2}}{5}-\dfrac{y^{2}}{2}=1.
Vértices: (\pm\sqrt{5},0).
Focos: (\pm\sqrt{7},0).
Assíntotas: y=\pm\sqrt{\dfrac{2}{5}}\,x.

Exercícios relacionados