Identifique as cônicas representadas pelas equações
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para identificar a cônica representada por essa equação. Informações relevantes fornecidas:
(uma única equação em
e
).
A pergunta é: qual é a cônica (tipo, e — se possível — suas características principais como centro, eixos, vértices, focos e assíntotas)?
A pergunta é: qual é a cônica (tipo, e — se possível — suas características principais como centro, eixos, vértices, focos e assíntotas)?
Passo 2
Primeira observação simples e útil: olhar os coeficientes dos termos quadráticos. Se tivéssemos uma equação geral do tipo
uma forma rápida de classificar é verificar os sinais de
e
quando
. Aqui temos
e
. Eles têm sinais opostos (um positivo e outro negativo). Isso é um grande indício de que a curva é uma hipérbole. Vou explicar por quê com calma.
Passo 3
Por que sinais opostos indicam hipérbole? Intuição didática: se você dividir toda a equação por uma constante positiva para obter o termo independente igual a
, você terá algo do tipo
Essas são as formas padrão das hipérboles centradas na origem, onde um quadrado aparece com sinal positivo e o outro com sinal negativo. Parábola teria apenas um termo quadrático, elipse/círculo teriam os dois termos com mesmo sinal e sinais positivos (ou ambos negativos, dependendo do lado da igualdade). Então concluímos hipérbole.
Passo 4
Colocando a equação na forma padrão: dividimos toda a equação por
(constante do lado direito) para isolar o
no lado direito:
Simplificando cada fração:
Essa é a forma padrão de uma hipérbole centrada na origem com o termo positivo em
, ou seja,
onde, comparando, temos
e
.
Passo 5
A partir de
e
podemos extrair quantidades importantes:
-
. -
.
Vértices: para a forma
os vértices estão em
. Portanto os vértices são
Passo 6
Focos: para hipérbole padrão com eixo transverso no eixo
usa-se a relação
Explicação rápida dessa fórmula: geometria da hipérbole mostra que a distância focal
se relaciona com os semieixos por
(é análogo à elipse, mas com soma em vez de diferença). Aplicando:
logo
Os focos ficam em
, isto é,
Passo 7
Assíntotas: para a hipérbole
as assíntotas são retas passando pela origem com equações
Aqui
Portanto as assíntotas são
Passo 8
Resumo físico da curva (para você interpretar na prova): é uma hipérbole centrada na origem, com eixo transverso ao longo do eixo
. Isso significa que os “galhos” da hipérbole abrem para a direita e para a esquerda (não para cima/baixo), com vértices em
, focos em
e assíntotas dadas acima.
Resposta
Hipérbole centrada na origem com equação padrão
.
Vértices: .
Focos: .
Assíntotas: .
Vértices:
Focos:
Assíntotas: