Identifique, entre os conjuntos do problema 3 acima, aqueles que formam uma base para R^{3}, e em seguida, normalize seus vetores.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: identificar, entre os conjuntos do “problema 3” (referenciado), quais formam uma base para \mathbb{R}^3; e, para os conjuntos que forem base, normalizar seus vetores.
Informações dadas pelo enunciado aqui: nenhuma — os conjuntos do problema 3 não foram fornecidos na sua mensagem. Portanto, não tenho os vetores sobre os quais devo decidir. Por isso não posso indicar quais conjuntos específicos são base nem calcular as normalizações desses vetores.

Passo 2

Mesmo sem os conjuntos, eu vou te ensinar passo a passo como fazer isso na prova — vou explicar tudo bem mastigado para você aplicar direto nos conjuntos do problema 3 quando tiver eles na sua folha.
Primeiro: o que significa "ser uma base de \mathbb{R}^3"?
  • Um conjunto S de vetores é base de \mathbb{R}^3 se satisfaz duas condições simultâneas: (i) os vetores de S são linearmente independentes; (ii) eles geram (span) todo \mathbb{R}^3.
  • Em \mathbb{R}^3 isso implica que qualquer base tem exatamente 3 vetores. Logo, se um conjunto tem menos que 3 vetores não pode ser base; se tiver mais que 3, pode conter uma base (um subconjunto de 3 vetores independentes) mas não é uma “base” no sentido usual a menos que você selecione 3 independentes.
Definições concretas e como verificar:
  • Linearmente independentes: vetores \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 são independentes se a única solução do sistema
c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + c_3\mathbf{v}_3 = \mathbf{0}
é c_1=c_2=c_3=0. Na prática, transformamos isso em um sistema linear e vemos se existe solução não-trivial.
  • Gerar \mathbb{R}^3: significa que combinações lineares dos vetores permitem obter qualquer vetor em \mathbb{R}^3. Para três vetores em \mathbb{R}^3 isso equivale a dizer que eles são independentes (porque 3 vetores independentes em \mathbb{R}^3 já garantem span de todo \mathbb{R}^3).
Métodos práticos que você pode usar na prova (passo a passo):
  1. Se o conjunto tem exatamente 3 vetores \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3, forme a matriz A cujas colunas são esses vetores:
A = \begin{pmatrix} | & | & | \\\ \mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \mathbf{v}_3 \\\ | & | & | \end{pmatrix}.
  1. Calcule o determinante \det(A). Resultado:
    • Se \det(A)\neq 0, os vetores são linearmente independentes e portanto formam uma base de \mathbb{R}^3.
    • Se \det(A)=0, não são independentes, logo não são base.
  2. Alternativa (quando preferir ou quando há mais de 3 vetores): faça eliminação de Gauss (redução de linhas) na matriz cujas colunas são os vetores e conte o posto (rank). Se o posto é 3 então há 3 vetores independentes e você pode extrair deles uma base (as colunas pivô). Se o posto é menor que 3, não existe base inteira dentro do conjunto que gere todo \mathbb{R}^3.
Observação sobre conjuntos com número de vetores diferente de 3:
  • 2 vetores: não alcançam \mathbb{R}^3 (podem no máximo gerar um plano), então não são base.
  • 4 ou mais vetores: monte a matriz com essas colunas, reduza e verifique se o posto é 3. Se sim, escolha 3 colunas correspondentes aos pivôs; essas 3 formam uma base.

Passo 3

Como calcular determinante de uma matriz 3\times3 passo a passo (fórmula explícita) — útil pra prova sem calculadora. Para
A = \begin{pmatrix} a & d & g\\\ b & e & h\\\ c & f & i \end{pmatrix},
o determinante é
\det(A)=a(ei-hf)-b(di-hg)+c(d f - e g).
Expliquei cada termo: multiplica-se elemento da primeira coluna pelo determinante do submatriz que sobra, com sinais alternados. Sempre organize bem os cálculos para não errar o sinal.
Exemplo ilustrativo (prático, para você ver a técnica): considere os vetores \mathbf{v}_1=(1,2,3), \mathbf{v}_2=(0,1,4), \mathbf{v}_3=(5,6,0). Então
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 5\\\\ 2 & 1 & 6\\\\ 3 & 4 & 0 \end{pmatrix}.
Calculemos \det(A) pela fórmula:
\det(A)=1\cdot(1\cdot0 - 4\cdot6) - 2\cdot(0\cdot0 - 4\cdot5) + 3\cdot(0\cdot6 - 1\cdot5).
Agora passo a passo:
  • 1\cdot0 - 4\cdot6 = -24.
  • 0\cdot0 - 4\cdot5 = -20.
  • 0\cdot6 - 1\cdot5 = -5.
    Substituindo:
\det(A)=1\cdot(-24) - 2\cdot(-20) + 3\cdot(-5) = -24 + 40 - 15 = 1.
Como \det(A)=1\neq 0, esses três vetores formam uma base de \mathbb{R}^3. (Isto é só um exemplo para você ver o processo.)

Passo 4

Como normalizar vetores — passo a passo e com exemplo (de novo, para treinar na prova):
  • Dado um vetor \mathbf{v}=(x,y,z), a norma (comprimento) é
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.
  • O vetor unitário na direção de \mathbf{v} (o vetor normalizado) é
\mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} = \left(\frac{x}{\|\mathbf{v}\|},\frac{y}{\|\mathbf{v}\|},\frac{z}{\|\mathbf{v}\|}\right).
Aplicando aos vetores do exemplo do Passo 3:
  • Para \mathbf{v}_1=(1,2,3): \|\mathbf{v}_1\|=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}. Então
\mathbf{u}_1=\frac{1}{\sqrt{14}}(1,2,3).
  • Para \mathbf{v}_2=(0,1,4): \|\mathbf{v}_2\|=\sqrt{0+1+16}=\sqrt{17}. Então
\mathbf{u}_2=\frac{1}{\sqrt{17}}(0,1,4).
  • Para \mathbf{v}_3=(5,6,0): \|\mathbf{v}_3\|=\sqrt{25+36+0}=\sqrt{61}. Então
\mathbf{u}_3=\frac{1}{\sqrt{61}}(5,6,0).
Esses são vetores unitários (norma igual a 1). Na prova, deixe as raízes simplificadas assim; não tente racionalizar ou aproximar a menos que peçam.

Passo 5

Resumo do algoritmo que você usa direto na prova (passos operacionais rápidos):
  1. Pegue cada conjunto do problema 3. Se o conjunto não tiver exatamente 3 vetores, já use as regras do Passo 2 (menos de 3 → não é base; mais de 3 → verifique posto).
  2. Para conjuntos com 3 vetores: forme a matriz com colunas sendo esses vetores; calcule \det(A) com a fórmula do Passo 3. Se \det(A)\neq 0, marque: é base; então normalize cada vetor usando o método do Passo 4.
  3. Para conjuntos com >3 vetores: faça eliminação de Gauss, encontre colunas pivô (ou o posto). Se o posto for 3, escolha as 3 colunas pivô como base e normalize esses 3 vetores.
  4. Para conjuntos com ❤️ vetores: conclua que não são base.
Dica de prova: organize bem a matriz e execute as operações em forma de tabela para evitar erros de sinal. Se a conta do determinante ficar pesada, a eliminação de Gauss costuma ser menos propensa a erro manual.

Passo 6

Eu não posso executar esses passos sobre os conjuntos do “problema 3” porque você não forneceu os vetores aqui. Use o algoritmo e os exemplos que te dei para checar cada conjunto do problema 3 na sua folha — você conseguirá decidir quais são base e normalizar os vetores. Força aí, você consegue!

Resposta

Não é possível identificar quais conjuntos do problema 3 formam base nem normalizar seus vetores porque os conjuntos (os vetores) do problema 3 não foram fornecidos na sua mensagem.

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