Quantos vetores l.i.'s há nos conjuntos abaixo?
(f) (1,0,0)^{\mathrm{T}},(0,1,0)^{\mathrm{T}},(1,1,1)^{\mathrm{T}}\

Passo 1

O enunciado dá três vetores coluna:
(1,0,0)^\mathrm{T},\quad (0,1,0)^\mathrm{T},\quad (1,1,1)^\mathrm{T}
A pergunta é: quantos vetores linearmente independentes há nesse conjunto? Em outras palavras, queremos saber se os três são independentes entre si, e caso não sejam, quantos formam um conjunto maximalmente independente (o posto do conjunto).

Passo 2

Vamos lembrar de forma clara e simples o que significa “linearmente independentes” (não se assuste, é só uma definição prática que facilita a conta). Três vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes se a única solução do sistema
\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3 = (0,0,0)^\mathrm{T}
é \alpha=0,\\ \beta=0,\\ \gamma=0. Aqui \alpha,\beta,\gamma são números reais (os coeficientes). Se existir uma solução em que pelo menos um coeficiente é diferente de zero, dizemos que são linearmente dependentes. Essa é a maneira padrão e direta de checar independência.

Passo 3

Aplicando essa ideia aos vetores dados, escrevemos a combinação linear nula com incógnitas \alpha,\beta,\gamma:
\alpha(1,0,0)^\mathrm{T}+\beta(0,1,0)^\mathrm{T}+\gamma(1,1,1)^\mathrm{T}=(0,0,0)^\mathrm{T}.
Aqui \alpha,\beta,\gamma representam quanto de cada vetor usamos; queremos ver se só a escolha \alpha=\beta=\gamma=0 zera a combinação ou se existe outra escolha.

Passo 4

Agora fazemos a soma componente a componente (isso é, comparamos as três coordenadas separadamente). A soma dá o vetor
(\alpha+\gamma,\\ \beta+\gamma,\\ \gamma)^\mathrm{T} = (0,0,0)^\mathrm{T}.
Igualando coordenada a coordenada, obtemos o sistema de equações
\begin{cases} \alpha+\gamma = 0,\\[4pt] \beta+\gamma = 0,\\[4pt] \gamma = 0. \end{cases}]

Passo 5

Da terceira equação temos imediatamente \gamma=0\). Substituindo \(\gamma=0\) nas duas primeiras equações obtemos \[\begin{cases} \alpha + 0 = 0 \Rightarrow \alpha = 0,\\[4pt] \beta + 0 = 0 \Rightarrow \beta = 0. \end{cases}
Portanto a única solução é (\alpha=\beta=\gamma=0]. Isso significa, pela definição do Passo 2, que os três vetores são linearmente independentes.
Observação intuitiva alternativa (útil na prova): os dois primeiros vetores são os vetores padrão que têm terceira coordenada zero, enquanto o terceiro vetor tem terceira coordenada igual a 1. Assim o terceiro não pode ser combinação dos dois primeiros (porque qualquer combinação dos dois primeiros teria terceira coordenada zero), o que já sugere independência — e a conta formal acima confirma.]

Resposta

3

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