Quantos vetores l.i.'s há nos conjuntos abaixo?
(d) (1,-1,0,4,1)^{\mathrm{T}},(2,1,0,1,1)^{\mathrm{T}},(0,0,1,0,0)^{\mathrm{T}}\

Passo 1

O enunciado pergunta quantos vetores linearmente independentes há no conjunto formado por
v_1=(1,-1,0,4,1)^{\mathrm{T}},\quad v_2=(2,1,0,1,1)^{\mathrm{T}},\quad v_3=(0,0,1,0,0)^{\mathrm{T}}.
Informações dadas:
v_1,\\ v_2,\\ v_3\in\mathbb{R}^5
e temos exatamente três vetores. A tarefa é determinar quantos desses são linearmente independentes (ou seja, qual é a dimensão do subespaço gerado por eles).

Passo 2

O que significa “linearmente independentes”? Vou explicar devagarinho. Três vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes se a única solução do sistema homogêneo
c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 = 0
é c_1=c_2=c_3=0. Se existir uma combinação não-trivial (algum coeficiente diferente de zero) que dá o vetor zero, então eles são linearmente dependentes. Logo, para testar independência, montamos essa combinação e resolvemos para os escalares c_1,c_2,c_3.

Passo 3

Escrevendo a combinação componente a componente (cada linha é uma coordenada), o sistema c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 = 0 vira
\begin{cases} c_1 + 2c_2 + 0\cdot c_3 = 0,\\\\ - c_1 + c_2 + 0\cdot c_3 = 0,\\\\ 0\cdot c_1 + 0\cdot c_2 + 1\cdot c_3 = 0,\\\\ 4c_1 + c_2 + 0\cdot c_3 = 0,\\\ c_1 + c_2 + 0\cdot c_3 = 0. \end{cases}
Vou simplificar: as equações realmente relevantes são
\begin{aligned} (1)\\ & c_1 + 2c_2 = 0,\\\ (2)\\ & -c_1 + c_2 = 0,\\\ (3)\\ & c_3 = 0,\\\ (4)\\ & 4c_1 + c_2 = 0,\\\ (5)\\ & c_1 + c_2 = 0. \end{aligned}

Passo 4

Começo pela equação mais simples: da terceira equação obtemos imediatamente
c_3 = 0,
porque v_3 é o único vetor com terceira coordenada diferente de zero (veja v_1 e v_2 têm zero na terceira coordenada), então a única forma de a combinação anular a terceira coordenada é c_3=0. Isso já garante que v_3 não pode ser gerado pelos outros dois — é um indício de independência entre v_3 e o subespaço gerado por v_1,v_2.

Passo 5

Com c_3=0, sobram as equações envolvendo c_1 e c_2. Use, por exemplo, a equação (2):
- c_1 + c_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad c_2 = c_1.
Substituo em (1):
c_1 + 2c_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad c_1 + 2(c_1) = 0 \quad\Rightarrow\quad 3c_1 = 0 \quad\Rightarrow\quad c_1 = 0.
Como c_1=0, da relação c_2=c_1 segue c_2=0. Verifico rapidamente as outras equações (4) e (5): com c_1=c_2=0 elas também ficam satisfeitas, então são consistentes.

Passo 6

Concluímos que a única solução do sistema homogêneo é
c_1=c_2=c_3=0.
Pela definição, isso significa que v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes. Um comentário intuitivo extra: v_3 tem uma coordenada não-nula (a terceira) onde v_1 e v_2 têm zero, então v_3 não é combinação dos outros; e v_1 e v_2 não são múltiplos um do outro (comparando coordenadas), então também são independentes entre si. Assim todos os três são independentes.

Resposta

3

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