e temos exatamente três vetores. A tarefa é determinar quantos desses são linearmente independentes (ou seja, qual é a dimensão do subespaço gerado por eles).
Passo 2
O que significa “linearmente independentes”? Vou explicar devagarinho. Três vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes se a única solução do sistema homogêneo
c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 = 0
é c_1=c_2=c_3=0. Se existir uma combinação não-trivial (algum coeficiente diferente de zero) que dá o vetor zero, então eles são linearmente dependentes. Logo, para testar independência, montamos essa combinação e resolvemos para os escalares c_1,c_2,c_3.
Passo 3
Escrevendo a combinação componente a componente (cada linha é uma coordenada), o sistema c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 = 0 vira
Começo pela equação mais simples: da terceira equação obtemos imediatamente
c_3 = 0,
porque v_3 é o único vetor com terceira coordenada diferente de zero (veja v_1 e v_2 têm zero na terceira coordenada), então a única forma de a combinação anular a terceira coordenada é c_3=0. Isso já garante que v_3 não pode ser gerado pelos outros dois — é um indício de independência entre v_3 e o subespaço gerado por v_1,v_2.
Passo 5
Com c_3=0, sobram as equações envolvendo c_1 e c_2. Use, por exemplo, a equação (2):
Como c_1=0, da relação c_2=c_1 segue c_2=0. Verifico rapidamente as outras equações (4) e (5): com c_1=c_2=0 elas também ficam satisfeitas, então são consistentes.
Passo 6
Concluímos que a única solução do sistema homogêneo é
c_1=c_2=c_3=0.
Pela definição, isso significa que v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes. Um comentário intuitivo extra: v_3 tem uma coordenada não-nula (a terceira) onde v_1 e v_2 têm zero, então v_3 não é combinação dos outros; e v_1 e v_2 não são múltiplos um do outro (comparando coordenadas), então também são independentes entre si. Assim todos os três são independentes.