Identifique conjuntos, represente graficamente e prove propriedades topológicas.
6. Mostre que
é uma reta. Faça o gráfico.
6. Mostre que
Passo 1
O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos
que satisfazem
Em geometria analítica, isso significa “todos os pontos equidistantes de
e de
”. Vamos usar a escrita
e a interpretação do módulo como distância euclidiana no plano.
Passo 2
Escrevendo
, temos
A condição
eleva-se ao quadrado sem mudar o conjunto solução:
Passo 3
Cancelando
e desenvolvendo os quadrados:
Logo o locus é a reta horizontal
.
Passo 4
Para ver a natureza topológica desse conjunto, considere
Como
é contínua em
, o conjunto
é fechado. Essa reta não contém nenhum ponto de interior em
, pois qualquer bola em torno de um ponto com
atinge valores de
. Portanto não é aberta.
Passo 5
O gráfico no plano complexo é a linha horizontal que atravessa o eixo imaginário em
e se estende infinitamente para a esquerda e para a direita, passando pelo ponto
.
Resposta
O conjunto é a reta
fechada em
, sem pontos de interior, e corresponde geometricamente à linha horizontal
.