Identifique conjuntos, represente graficamente e prove propriedades topológicas.
6. Mostre que |z-2 i|=|z-3 i| é uma reta. Faça o gráfico.

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos z\in\mathbb{C} que satisfazem
|z-2i| = |z-3i|.
Em geometria analítica, isso significa “todos os pontos equidistantes de 2i e de 3i”. Vamos usar a escrita z=x+iy e a interpretação do módulo como distância euclidiana no plano.

Passo 2

Escrevendo z=x+iy, temos
|z-2i| = \sqrt{(x-0)^2 + (y-2)^2}, \quad |z-3i| = \sqrt{(x-0)^2 + (y-3)^2}.
A condição
\sqrt{x^2+(y-2)^2} \;=\;\sqrt{x^2+(y-3)^2}
eleva-se ao quadrado sem mudar o conjunto solução:
x^2 + (y-2)^2 \;=\; x^2 + (y-3)^2.

Passo 3

Cancelando x^2 e desenvolvendo os quadrados:
y^2 - 4y + 4 = y^2 - 6y + 9 \;\Longrightarrow\; 2y - 5 = 0 \;\Longrightarrow\; y = \tfrac{5}{2}.
Logo o locus é a reta horizontal \Im z = \tfrac{5}{2}.

Passo 4

Para ver a natureza topológica desse conjunto, considere
f(z) = |z-2i| - |z-3i|.
Como f é contínua em \mathbb{C}, o conjunto f^{-1}(0) é fechado. Essa reta não contém nenhum ponto de interior em \mathbb{C}, pois qualquer bola em torno de um ponto com \Im z = \tfrac{5}{2} atinge valores de \Im z\neq\tfrac{5}{2}. Portanto não é aberta.

Passo 5

O gráfico no plano complexo é a linha horizontal que atravessa o eixo imaginário em y=\tfrac{5}{2} e se estende infinitamente para a esquerda e para a direita, passando pelo ponto (0,\tfrac{5}{2}).

Resposta

O conjunto é a reta
\{\,z\in\mathbb{C}\mid \Im z = \tfrac{5}{2}\},
fechada em \mathbb{C}, sem pontos de interior, e corresponde geometricamente à linha horizontal y=\tfrac{5}{2}.

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