Identifique conjuntos, represente graficamente e prove propriedades topológicas.
6. Mostre que |z-2 i|=|z-3 i| é uma reta. Faça o gráfico.

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos z no plano complexo tais que
|z-2i| = |z-3i|.
O conteúdo é geometria analítica no plano de Argand: vamos escrever z=x+yi, calcular as duas distâncias, igualar, simplificar e interpretar a reta resultante.

Passo 2

Escrevendo z = x + yi, temos
|z-2i| = \sqrt{x^2 + (y-2)^2}
e
|z-3i| = \sqrt{x^2 + (y-3)^2}.
Igualando e elevando ambos os lados ao quadrado, vem
x^2 + (y-2)^2 = x^2 + (y-3)^2.

Passo 3

Expandindo as expressões e simplificando:
y^2 - 4y + 4 = y^2 - 6y + 9
cancela-se y^2 e isola-se y:
-4y + 4 = -6y + 9
2y = 5
y = \frac{5}{2}.

Passo 4

A equação
y = \frac{5}{2}
é a reta horizontal paralela ao eixo real (eixo x) que intercepta o eixo imaginário em 2,5. Portanto o lugar geométrico pedido é exatamente essa reta.

Passo 5

O gráfico no plano complexo (eixo horizontal = \Re, eixo vertical = \Im) é a linha horizontal que cruza o eixo imaginário em 2,5. Ou seja, todos os pontos com coordenadas
(x,\,\tfrac{5}{2})
para x\in\mathbb{R}.

Resposta

A reta \Im(z)=\tfrac{5}{2}.

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