Identifique conjuntos, represente graficamente e prove propriedades topológicas.
6. Mostre que
é uma reta. Faça o gráfico.
6. Mostre que
Passo 1
O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos
no plano complexo tais que
O conteúdo é geometria analítica no plano de Argand: vamos escrever
, calcular as duas distâncias, igualar, simplificar e interpretar a reta resultante.
Passo 2
Escrevendo
, temos
e
Igualando e elevando ambos os lados ao quadrado, vem
Passo 3
Expandindo as expressões e simplificando:
cancela-se
e isola-se
:
Passo 4
A equação
é a reta horizontal paralela ao eixo real (eixo
) que intercepta o eixo imaginário em
. Portanto o lugar geométrico pedido é exatamente essa reta.
Passo 5
O gráfico no plano complexo (eixo horizontal
, eixo vertical
) é a linha horizontal que cruza o eixo imaginário em
. Ou seja, todos os pontos com coordenadas
para
.
Resposta
A reta
.