[2,0] Encontre a derivada direcional de f(x, y)=\cos (x) \cos (y) no ponto (\pi / 4, \pi / 4) na direção do vetor \mathbf{u}=(4,-3).

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função
f(x,y)=\cos(x)\cos(y),
o ponto \bigl(\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}\bigr) e a direção dada pelo vetor \mathbf{u}=(4,-3). Para encontrar a derivada direcional usamos a definição
D_{\mathbf{u}}f(p)=\nabla f(p)\cdot\widehat{\mathbf{u}},
onde \widehat{\mathbf{u}} é o vetor unitário na direção de \mathbf{u}.

Passo 2

Vamos achar o gradiente de f. Calculamos as derivadas parciais:
f_x(x,y)=-\sin(x)\cos(y), \quad f_y(x,y)=-\cos(x)\sin(y).

Passo 3

Agora avaliamos essas parciais em \bigl(\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}\bigr). Como \sin\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\tfrac{\sqrt2}{2}, temos
f_x\!\Bigl(\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}\Bigr) =-\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} =-\frac12, \quad f_y\!\Bigl(\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}\Bigr) =-\frac12.
Logo
\displaystyle \nabla f\!\Bigl(\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}\Bigr) =\bigl(-\tfrac12,-\tfrac12\bigr).

Passo 4

Normalizamos o vetor \mathbf{u}=(4,-3). O seu módulo é
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5,
portanto o vetor unitário é
\widehat{\mathbf{u}}=\Bigl(\tfrac{4}{5},-\tfrac{3}{5}\Bigr).

Passo 5

Finalmente a derivada direcional é o produto escalar
D_{\mathbf{u}}f\Bigl(\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}\Bigr) =\bigl(-\tfrac12,-\tfrac12\bigr)\cdot\Bigl(\tfrac{4}{5},-\tfrac{3}{5}\Bigr) =-\tfrac12\cdot\tfrac{4}{5}+(-\tfrac12)\cdot\bigl(-\tfrac{3}{5}\bigr) =-\tfrac{4}{10}+\tfrac{3}{10} =-\tfrac{1}{10}.

Resposta

-\tfrac{1}{10}

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