Encontres os valores máximo e mínimo absolutos de
sobre a região triangular cortaida no primeiro quadrante pela reta
.
Passo 1
O enunciado pede os extremos absolutos de
no triângulo com vértices
,
e
. O conteúdo é “extremos de função de duas variáveis em domínio fechado”: primeiro achamos pontos críticos no interior e depois analisamos as arestas parametrizadas.
Passo 2
Calculamos o gradiente e igualamos a zero:
Resolvendo o sistema
multiplicando a segunda por 2 e subtraindo, vem
, logo
e daí
. Como
não está no triângulo, não há ponto crítico interno.
Passo 3
Na aresta
com
, a função vira
Derivando em
:
dá
no intervalo. Avaliando:
Nos extremos
e
obtemos
Passo 4
Na aresta
com
, temos
Derivando em
:
dá
, fora do intervalo. Nos extremos
e
:
Passo 5
Na aresta
, escrevemos
,
. Então
Simplificando, chega-se a
Derivando:
dá
, fora de
. Nos extremos
e
reaparecem
e
.
Passo 6
Reunindo todos os valores:
O menor é
em
e o maior é
em
.
Resposta
O valor mínimo absoluto é
em
.
O valor máximo absoluto é em
.
O valor máximo absoluto é