[3,0] Encontres os valores máximo e mínimo absolutos de f(x, y)=x^{2}+x y+y^{2}-3 x+3 y sobre a região triangular cortaida no primeiro quadrante pela reta x+y=4.

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos de
f(x,y)=x^{2}+x\,y+y^{2}-3x+3y
no triângulo com vértices (0,0), (4,0) e (0,4). O conteúdo é “extremos de função de duas variáveis em domínio fechado”: primeiro achamos pontos críticos no interior e depois analisamos as arestas parametrizadas.

Passo 2

Calculamos o gradiente e igualamos a zero:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x+y-3=0, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=x+2y+3=0.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} 2x+y=3,\\\ x+2y=-3, \end{cases}
multiplicando a segunda por 2 e subtraindo, vem 3x=9, logo x=3 e daí y=-3. Como (3,-3) não está no triângulo, não há ponto crítico interno.

Passo 3

Na aresta y=0 com 0\le x\le4, a função vira
f(x,0)=x^{2}-3x.
Derivando em x: 2x-3=0 x=\tfrac32 no intervalo. Avaliando:
f\bigl(\tfrac32,0\bigr)=\bigl(\tfrac32\bigr)^{2}-3\cdot\tfrac32=-\tfrac{9}{4}.
Nos extremos x=0 e x=4 obtemos
f(0,0)=0, \quad f(4,0)=16-12=4.

Passo 4

Na aresta x=0 com 0\le y\le4, temos
f(0,y)=y^{2}+3y.
Derivando em y: 2y+3=0 y=-\tfrac32, fora do intervalo. Nos extremos y=0 e y=4:
f(0,0)=0, \quad f(0,4)=16+12=28.

Passo 5

Na aresta x+y=4, escrevemos y=4-x, 0\le x\le4. Então
g(x)=f\bigl(x,4-x\bigr) =x^{2}+x(4-x)+(4-x)^{2}-3x+3(4-x).
Simplificando, chega-se a
g(x)=x^{2}-10x+28.
Derivando: g'(x)=2x-10=0 x=5, fora de [0,4]. Nos extremos x=0 e x=4 reaparecem g(0)=28 e g(4)=4.

Passo 6

Reunindo todos os valores:
-\tfrac94,\;0,\;4,\;28.
O menor é -\tfrac94 em \bigl(\tfrac32,0\bigr) e o maior é 28 em (0,4).

Resposta

O valor mínimo absoluto é -\tfrac94 em \bigl(\tfrac32,0\bigr).
O valor máximo absoluto é 28 em (0,4).

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