Identifique conjuntos, represente graficamente e prove propriedades topológicas.
4. Prove que a interseção finita de abertos é aberta
4. Prove que a interseção finita de abertos é aberta
Passo 1
O enunciado pede para provar que a interseção de um número finito de conjuntos abertos é também um conjunto aberto. O conteúdo é topologia em espaços métricos (ou gerais), usando a definição de aberto via bolas (vizinhanças). Para resolver, vamos usar que cada aberto satisfaz a condição: para todo ponto existe uma bola centrada nele contida no aberto, e então combinar essas bolas.
Passo 2
Relembremos a definição: num espaço métrico
, um conjunto
é aberto se, para todo
, existe
tal que
Passo 3
Primeiro mostramos o caso de interseção de dois abertos. Sejam
e
abertos e tome
. Como
é aberto, existe
com
Como
é aberto, existe
com
Definindo
, temos
Logo, para esse
existe uma bola contida em
, provando que
é aberto.
Passo 4
Para a interseção finita de
abertos
, façamos argumento direto. Se
, então para cada
existe
com
Tomando
segue
Isso mostra que em todo ponto da interseção finita há uma bola inteira nela, ou seja, a interseção é aberta.
Resposta
A interseção finita de abertos é aberta.