Identifique conjuntos, represente graficamente e prove propriedades topológicas.
4. Prove que a interseção finita de abertos é aberta

Passo 1

O enunciado pede para provar que a interseção de um número finito de conjuntos abertos é também um conjunto aberto. O conteúdo é topologia em espaços métricos (ou gerais), usando a definição de aberto via bolas (vizinhanças). Para resolver, vamos usar que cada aberto satisfaz a condição: para todo ponto existe uma bola centrada nele contida no aberto, e então combinar essas bolas.

Passo 2

Relembremos a definição: num espaço métrico (X,d), um conjunto U\subset X é aberto se, para todo x\in U, existe \epsilon>0 tal que
B(x,\epsilon)=\{y\in X\mid d(x,y)<\epsilon\}\subset U.

Passo 3

Primeiro mostramos o caso de interseção de dois abertos. Sejam U e V abertos e tome x\in U\cap V. Como U é aberto, existe \epsilon_1>0 com
B(x,\epsilon_1)\subset U.
Como V é aberto, existe \epsilon_2>0 com
B(x,\epsilon_2)\subset V.
Definindo \epsilon=\min\{\epsilon_1,\epsilon_2\}, temos
B(x,\epsilon)\subset B(x,\epsilon_1)\cap B(x,\epsilon_2)\subset U\cap V.
Logo, para esse x existe uma bola contida em U\cap V, provando que U\cap V é aberto.

Passo 4

Para a interseção finita de n abertos U_1,U_2,\dots,U_n, façamos argumento direto. Se x\in\bigcap_{i=1}^nU_i, então para cada i existe \epsilon_i>0 com
B(x,\epsilon_i)\subset U_i.
Tomando
\epsilon=\min\{\epsilon_1,\epsilon_2,\dots,\epsilon_n\},
segue
B(x,\epsilon)\subset \bigcap_{i=1}^nB(x,\epsilon_i)\subset \bigcap_{i=1}^nU_i.
Isso mostra que em todo ponto da interseção finita há uma bola inteira nela, ou seja, a interseção é aberta.

Resposta

A interseção finita de abertos é aberta.

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