Identifique conjuntos, represente graficamente e prove propriedades topológicas.
2. Prove que a união de abertos é aberta

Passo 1

O enunciado pede que mostremos, num espaço métrico (X,d), que a união arbitrária de conjuntos abertos é um conjunto aberto. Vamos identificar cada conjunto U_i como aberto, desenhar mentalmente cada um como uma região onde, em torno de cada ponto, cabe uma bola aberta, e então provar formalmente que o conjunto resultante da união também satisfaz a definição de aberto.

Passo 2

Relembremos a definição de aberto em espaço métrico. Dizemos que um subconjunto U\subset X é aberto se, para todo ponto x\in U, existe um raio \epsilon>0 tal que a bola aberta
B(x,\epsilon)=\{\,y\in X\mid d(x,y)<\epsilon\}
está contida em U. Geometricamente, isso significa que em cada ponto de U cabe inteirinha uma bolinha que não “escapa” de U.

Passo 3

Seja \{U_i\}_{i\in I} uma família arbitrária de conjuntos abertos em (X,d). Definimos
U = \bigcup_{i\in I} U_i.
Para provar que U é aberto, tomamos um ponto qualquer x\in U. Pela definição de união, existe algum índice i_0\in I tal que
x\in U_{i_0}.
Como U_{i_0} é aberto, existe \epsilon>0 com
B(x,\epsilon)\subset U_{i_0}.
Mas U_{i_0}\subset U, logo
B(x,\epsilon)\subset U.
Isso mostra que, para todo x\in U, encontramos uma bola aberta centrada em x inteiramente contida em U.

Resposta

A união arbitrária de conjuntos abertos em um espaço métrico é um conjunto aberto.

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