Identifique conjuntos, represente graficamente e prove propriedades topológicas.
2. Prove que a união de abertos é aberta
2. Prove que a união de abertos é aberta
Passo 1
O enunciado pede que mostremos, num espaço métrico
, que a união arbitrária de conjuntos abertos é um conjunto aberto. Vamos identificar cada conjunto
como aberto, desenhar mentalmente cada um como uma região onde, em torno de cada ponto, cabe uma bola aberta, e então provar formalmente que o conjunto resultante da união também satisfaz a definição de aberto.
Passo 2
Relembremos a definição de aberto em espaço métrico. Dizemos que um subconjunto
é aberto se, para todo ponto
, existe um raio
tal que a bola aberta
está contida em
. Geometricamente, isso significa que em cada ponto de
cabe inteirinha uma bolinha que não “escapa” de
.
Passo 3
Seja
uma família arbitrária de conjuntos abertos em
. Definimos
Para provar que
é aberto, tomamos um ponto qualquer
. Pela definição de união, existe algum índice
tal que
Como
é aberto, existe
com
Mas
, logo
Isso mostra que, para todo
, encontramos uma bola aberta centrada em
inteiramente contida em
.
Resposta
A união arbitrária de conjuntos abertos em um espaço métrico é um conjunto aberto.