Identifique e construa o gráfico das superfícies quádricas abaixo.
x^{2}+z^{2}=4,0 \leq y \leq 3

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície definida por
x^{2}+z^{2}=4,\quad 0\le y\le 3.
O conteúdo aqui é identificação de superfícies quádricas: quando a equação não envolve uma variável (aqui y), trata-se de um cilindro. Vamos usar essa ideia para classificar e desenhar o gráfico.

Passo 2

Como a equação
x^{2}+z^{2}=4
não depende de y, cada valor fixo de y produz o mesmo contorno no plano xz: um círculo de raio 2 centrado na origem. Logo, a superfície é um cilindro circular reto de raio 2, com eixo paralelo ao eixo y.

Passo 3

O domínio de y\) está restrito a \[0\le y\le 3,
portanto é um cilindro “com tampas” nos planos y=0 e y=3. Uma parametrização conveniente é
\begin{cases} x=2\cos t,\\\ z=2\sin t,\\\ y=s, \end{cases} \quad t\in[0,2\pi),\;s\in[0,3].
Com isso, para cada s\] fixo obtemos o círculo de raio 2, e \(s varia de 0 a 3 gerando todo o cilindro truncado.

Passo 4

No gráfico em (x,y,z) temos um cilindro reto de base circular de raio 2 (no plano xz) elevando-se do plano y=0 até o plano y=3. Nas vistas:
  • Na projeção no plano xz, vemos o círculo x^{2}+z^{2}=4.
  • Na projeção nos planos que contêm o eixo y (por exemplo xy ou yz), vemos duas linhas verticais em x=\pm2 ou z=\pm2, com 0\le y\le3.

Resposta

A superfície é um cilindro circular reto de raio 2, com eixo paralelo a y, truncado entre os planos y=0 e y=3. Sua parametrização é
\mathbf r(t,s) = (2\cos t,\;s,\;2\sin t),\quad t\in[0,2\pi),\;s\in[0,3].

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