Quais os valores de a as transformações são diagonalizáveis:
(a) \left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & a\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear representada, numa base, pela matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 1\\\\ 0 & a\end{pmatrix}
e pede para determinar para quais valores de a essa transformação é diagonalizável. Vamos usar o critério de diagonalização em termos de autovalores (raízes do polinômio característico) e suas multiplicidades algébrica e geométrica.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
p(\lambda)=\det\bigl(A-\lambda I\bigr) =\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 1\\\\ 0 & a-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)(a-\lambda).
Logo os autovalores são
\lambda_{1}=1 e \lambda_{2}=a.

Passo 3

Se a\neq 1, então \lambda_{1}\neq\lambda_{2}. Matriz com dois autovalores distintos tem sempre duas direções próprias linearmente independentes, ou seja, a multiplicidade geométrica de cada autovalor é 1 e soma 2, garantindo diagonalização.

Passo 4

Se a=1, então o polinômio fica
p(\lambda)=(1-\lambda)^{2},
autovalor \lambda=1 com multiplicidade algébrica 2. O espaço próprio é dado por
(A-I)v=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}0 & 1\\\\ 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\\ y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\\ 0\end{pmatrix}
que impõe y=0 e deixa x livre. Logo a multiplicidade geométrica é 1, menor que a algébrica, impedindo a diagonalização.

Resposta

A transformação é diagonalizável se, e somente se,
a \neq 1.

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