Verifique quais transformações a seguir são diagonalizáveis:
(a) T: P_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow P_{2}(\mathbb{R}), com T(p(x))=p(2 x+1).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon P_{2}(\mathbb{R})\to P_{2}(\mathbb{R}),\quad T\bigl(p(x)\bigr)=p(2x+1).
Queremos verificar se T é diagonalizável, ou seja, se existe uma base de P_{2}(\mathbb{R}) formada por autovetores de T. Para isso, vamos calcular a matriz de T na base canônica, encontrar os autovalores e checar as dimensões das autovias correspondentes.

Passo 2

Escolhemos a base canônica B=\{1,x,x^2\}.
  • T(1)=1 tem coordenadas \bigl(1,0,0\bigr) em B.
  • T(x)=2x+1 tem coordenadas \bigl(1,2,0\bigr).
  • T(x^2)=(2x+1)^2=4x^2+4x+1 tem coordenadas \bigl(1,4,4\bigr).
    Logo a matriz de T em B é triangular superior:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 2 & 4\\\\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}.

Passo 3

Como A é triangular, seus autovalores são as entradas da diagonal:
\lambda_{1}=1,\quad \lambda_{2}=2,\quad \lambda_{3}=4.
Eles são distintos, logo cada autovalor gera um autovetor não nulo e as dimensões dos autespaços somam \dim P_{2}=3.

Passo 4

Ter três autovalores distintos em um espaço de dimensão 3 garante que T seja diagonalizável. De fato, uma base de autovetores é dada pelos polinômios
1,\quad x+1,\quad (x+1)^2,
com T(1)=1, T(x+1)=2(x+1) e T\bigl((x+1)^2\bigr)=4\,(x+1)^2.

Resposta

A transformação T(p(x))=p(2x+1) é diagonalizável.

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