Identifique a curva dada pelo conjunto imagem da seguinte função vetorial:
dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar a curva que é formada pelo conjunto imagem da função vetorial
, onde
varia de
a
. A gente vai trabalhar com funções vetoriais e curvas no plano, usando trigonometria para entender qual é essa curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que essa função vetorial está fazendo. Ela pega um valor
dentro do intervalo
e transforma isso em um ponto no plano
, onde a primeira coordenada é
e a segunda é
.
Agora, vamos lembrar de como funciona a circunferência unitária no plano cartesiano. A circunferência centrada na origem com raio 1 pode ser parametrizada pelas funções seno e cosseno:
Perceba que na nossa função
, as posições das funções seno e cosseno estão invertidas, mas isso não muda a forma geral da curva, que continua sendo um círculo.
Passo 3
Vamos analisar o intervalo de
dado, de
a
. Quando
, temos:
E quando
, temos:
À medida que
varia de
a
, o ponto
percorre a parte inferior da circunferência unitária, indo de
até
.
Resposta
A curva formada pela função vetorial
no intervalo
é a circunferência unitária no plano, ou seja, um círculo de raio 1 centrado na origem.