Identifique a curva dada pelo conjunto imagem da seguinte função vetorial:
r6:[-pi, 0] R^2 dada por r6(t)=(sen t, cos t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar a curva que é formada pelo conjunto imagem da função vetorial r6(t) = (sen t, cos t), onde t varia de -pi a 0. A gente vai trabalhar com funções vetoriais e curvas no plano, usando trigonometria para entender qual é essa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essa função vetorial está fazendo. Ela pega um valor t dentro do intervalo [-pi, 0] e transforma isso em um ponto no plano R^2, onde a primeira coordenada é sen t e a segunda é cos t.
Agora, vamos lembrar de como funciona a circunferência unitária no plano cartesiano. A circunferência centrada na origem com raio 1 pode ser parametrizada pelas funções seno e cosseno:
x = cos theta
y = sen theta
Perceba que na nossa função r6(t), as posições das funções seno e cosseno estão invertidas, mas isso não muda a forma geral da curva, que continua sendo um círculo.

Passo 3

Vamos analisar o intervalo de t dado, de -pi a 0. Quando t = -pi, temos:
r6(-pi) = (sen(-pi), cos(-pi)) = (0, -1)
E quando t = 0, temos:
r6(0) = (sen(0), cos(0)) = (0, 1)
À medida que t varia de -pi a 0, o ponto (sen t, cos t) percorre a parte inferior da circunferência unitária, indo de (0, -1) até (0, 1).

Resposta

A curva formada pela função vetorial r6(t) = (sen t, cos t) no intervalo [-pi, 0] é a circunferência unitária no plano, ou seja, um círculo de raio 1 centrado na origem.

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