Identifique a curva dada pelo conjunto imagem da seguinte função vetorial:
r3: R R^2 dada por r3(t)=(2 cos t, 3 sen t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente identificar qual é a curva formada pelo conjunto de pontos gerados pela função vetorial r3(t) = (2 cos t, 3 sen t). Isso está dentro do estudo de curvas paramétricas, onde usamos uma variável, nesse caso o t, para desenhar a curva no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as componentes da função:
  • x = 2 cos t
  • y = 3 sen t

Passo 3

Aí, a gente quer eliminar o parâmetro t pra achar uma relação direta entre x e y. Sabemos que cos^2 t + sen^2 t = 1, que é uma identidade trigonométrica básica.

Passo 4

Vamos isolar cos t e sen t das equações de x e y:
  • cos t = x2
  • sen t = y3

Passo 5

Agora, substituímos essas expressões na identidade trigonométrica:
(x2)^2 + (y3)^2 = 1

Passo 6

Simplificando, ficamos com:
x^24 + y^29 = 1

Resposta

A curva é uma elipse com semi-eixos de comprimento 2 e 3, representada pela equação x^24 + y^29 = 1.

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