Verifique se r=\theta^{2} é simétrica em relação ao Eixo Polar.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a curva dada em coordenadas polares pela equação \,r=\theta^{2}\, é simétrica em relação ao Eixo Polar.
Informações fornecidas:
  • A equação da curva é \,r=\theta^{2}\,.
  • A pergunta é apenas: “é simétrica em relação ao Eixo Polar?” (sim ou não, com justificativa).

Passo 2

O que significa “simetria em relação ao Eixo Polar”? Vou explicar de forma bem direta e prática.
  • Num sistema de coordenadas polares, um ponto é representado por (r,\theta), com as relações cartesianas \,x=r\cos\theta e \,y=r\sin\theta.
  • Refletir um ponto em relação ao Eixo Polar (eixo x no plano cartesiano) corresponde a trocar \theta por -\theta: a abscissa x fica igual e a ordenada y muda de sinal. Em termos de curva polar, uma regra simples de teste é: se ao substituir \theta por -\theta na equação a igualdade permanece verdadeira (ou representa o mesmo ponto polar), a curva é simétrica em relação ao Eixo Polar.
  • Também existe a equivalência polar (r,\theta)\equiv(-r,\theta+\pi), que às vezes é útil quando a substituição direta não parece dar a mesma equação; depois eu explico quando isso importa.

Passo 3

Aplicando o teste direto: substitui-se \theta por -\theta na equação \,r=\theta^{2}\,. Faço a conta e mostro passo a passo:
r(-\theta)=(-\theta)^{2}.
Como (- \theta)^{2}=\theta^{2}, obtemos
r(-\theta)=\theta^{2}=r(\theta).
Ou seja, a equação não se altera quando \theta é trocado por -\theta.

Passo 4

Interpretação geométrica simples e didática (para entender por que isso garante a simetria). Escrevendo as coordenadas cartesianas paramétricas:
x(\theta)=r\cos\theta=\theta^{2}\cos\theta, \qquad y(\theta)=r\sin\theta=\theta^{2}\sin\theta.
Para -\theta obtemos
x(-\theta)=(-\theta)^{2}\cos(-\theta)=\theta^{2}\cos\theta=x(\theta),
y(-\theta)=(-\theta)^{2}\sin(-\theta)=\theta^{2}(-\sin\theta)=-y(\theta).
Portanto, o ponto com parâmetro -\theta tem a mesma abscissa e ordenada oposta: é exatamente a reflexão de (x(\theta),y(\theta)) em relação ao Eixo Polar (eixo x). Isso confirma a simetria.

Passo 5

Observação sobre r negativo e equivalências polares: em algumas curvas a substituição \theta\mapsto -\theta pode produzir uma r negativa, então é preciso reconhecer (r,\theta)\equiv(-r,\theta+\pi) para decidir se o ponto refletido pertence à curva. Aqui isso não é necessário porque \theta^{2}\ge 0 para todo \theta, logo r nunca fica negativo; portanto a substituição direta já prova a simetria sem complicações extras.

Passo 6

Conclusão e recado de incentivo: como a equação é inalterada por \theta\mapsto -\theta e a parametrização mostra que y se inverte enquanto x permanece, a curva é simétrica em relação ao Eixo Polar. Mandou bem por checar a definição — esse teste simples funciona para muitas curvas polares!

Resposta

Sim. \,r=\theta^{2}\, é simétrica em relação ao Eixo Polar.

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