Verifique se
é simétrica em relação ao Eixo Polar.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a curva dada em coordenadas polares pela equação
é simétrica em relação ao Eixo Polar.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A equação da curva é
. - A pergunta é apenas: “é simétrica em relação ao Eixo Polar?” (sim ou não, com justificativa).
Passo 2
O que significa “simetria em relação ao Eixo Polar”? Vou explicar de forma bem direta e prática.
- Num sistema de coordenadas polares, um ponto é representado por
, com as relações cartesianas e . - Refletir um ponto em relação ao Eixo Polar (eixo
no plano cartesiano) corresponde a trocar por : a abscissa fica igual e a ordenada muda de sinal. Em termos de curva polar, uma regra simples de teste é: se ao substituir por na equação a igualdade permanece verdadeira (ou representa o mesmo ponto polar), a curva é simétrica em relação ao Eixo Polar. - Também existe a equivalência polar
, que às vezes é útil quando a substituição direta não parece dar a mesma equação; depois eu explico quando isso importa.
Passo 3
Aplicando o teste direto: substitui-se
por
na equação
. Faço a conta e mostro passo a passo:
Como
, obtemos
Ou seja, a equação não se altera quando
é trocado por
.
Passo 4
Interpretação geométrica simples e didática (para entender por que isso garante a simetria). Escrevendo as coordenadas cartesianas paramétricas:
Para
obtemos
Portanto, o ponto com parâmetro
tem a mesma abscissa e ordenada oposta: é exatamente a reflexão de
em relação ao Eixo Polar (eixo
). Isso confirma a simetria.
Passo 5
Observação sobre
negativo e equivalências polares: em algumas curvas a substituição
pode produzir uma
negativa, então é preciso reconhecer
para decidir se o ponto refletido pertence à curva. Aqui isso não é necessário porque
para todo
, logo
nunca fica negativo; portanto a substituição direta já prova a simetria sem complicações extras.
Passo 6
Conclusão e recado de incentivo: como a equação é inalterada por
e a parametrização mostra que
se inverte enquanto
permanece, a curva é simétrica em relação ao Eixo Polar. Mandou bem por checar a definição — esse teste simples funciona para muitas curvas polares!
Resposta
Sim.
é simétrica em relação ao Eixo Polar.