Identifique a curva transformando a equação polar dada para con lenadas retangulares.
r=4 cos theta+4 sen theta

Passo 1

O enunciado pede identificar a curva dada em coordenadas polares por
r = 4costheta + 4sintheta
Esse é um problema de conversão de coordenadas polares para retangulares. Vamos usar as relações
;x = rcostheta,;y = rsintheta e ;r^2 = x^2 + y^2.

Passo 2

Substituindo costheta = tfracxr e sintheta = tfracyr em
r = 4costheta + 4sintheta
temos
r = 4l(tfracxr + tfracyrr) Longrightarrow r^2 = 4(x + y)

Passo 3

Como ;r^2 = x^2 + y^2, substituímos na última equação e obtemos
x^2 + y^2 = 4x + 4y Longrightarrow x^2 - 4x + y^2 - 4y = 0

Passo 4

Agora completamos o quadrado em x e em y:
x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4, y^2 - 4y = (y - 2)^2 - 4
Somando essas expressões:
(x-2)^2 - 4 + (y-2)^2 - 4 = 0 Longrightarrow (x-2)^2 + (y-2)^2 = 8

Passo 5

Reconhecemos que
(x-2)^2 + (y-2)^2 = 8
é a equação de um círculo de centro (2,2) e raio raiz8 = 2raiz2.

Resposta

A curva é o círculo de equação
(x-2)^2 + (y-2)^2 = 8,
com centro em (2,2) e raio 2raiz2.

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