Encontre as coordenadas polares de todos os pontos nos quais a curva polar tem uma reta tangente vertical ou horizontal.
r=a(1+cos theta)

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas polares dos pontos em que a curva
r = al(1+costhetar)
tem tangente horizontal ou vertical. Para isso vamos usar a fórmula da derivada em coordenadas polares
dydx =drdtheta,sintheta + rcosthetadrdtheta,costheta - rsintheta
Tangente horizontal ocorre quando o numerador é zero (e o denominador não) e tangente vertical quando o denominador é zero (e o numerador não).

Passo 2

Calcular drdtheta. Da definição
r=al(1+costhetar)
vem
drdtheta=-asintheta

Passo 3

Substituindo em dydx, o numerador N e o denominador D são
N = -asintheta;sintheta + a(1+costheta)costheta = al(2cos^2theta + costheta - 1r),
D = -asintheta;costheta ;-;a(1+costheta)sintheta = -asintheta,(2costheta+1)

Passo 4

Para tangente horizontal impomos N=0 com Dneq0. A equação
2cos^2theta + costheta -1=0
tem soluções costheta=tfrac12 ou costheta=-1. Dessas, costheta=-1 (i.e.\ theta=pi) anula também D, gerando cusp, então só valem
theta=pi/3 e theta=5pi/3.

Passo 5

Para tangente vertical impomos D=0 com Nneq0. Da fatoração
sintheta,(2costheta+1)=0
vem sintheta=0 ou costheta=-tfrac12. Dessas, excluímos onde N=0 (que ocorre em theta=pi e theta=pi/3,5pi/3), ficando
theta=0, theta=2pi/3 e theta=4pi/3.

Passo 6

Calcular r=a(1+costheta) em cada theta:
  • Para theta=pi/3 ou 5pi/3: costheta=12; Rightarrow; r=tfrac32a.
  • Para theta=0: cos0=1; Rightarrow; r=2a.
  • Para theta=2pi/3 ou 4pi/3: costheta=-tfrac12; Rightarrow; r=tfrac12a.

Resposta

Tangente horizontal em
l(r,thetar)=(tfrac32a,pi/3) e (tfrac32a,5pi/3).
Tangente vertical em
l(r,thetar)=(2a,0), (tfrac12a,2pi/3) e (tfrac12a,4pi/3).

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