Encontre as coordenadas polares de todos os pontos nos quais a curva polar tem uma reta tangente vertical ou horizontal.
Passo 1
O enunciado pede as coordenadas polares dos pontos em que a curva
tem tangente horizontal ou vertical. Para isso vamos usar a fórmula da derivada em coordenadas polares
Tangente horizontal ocorre quando o numerador é zero (e o denominador não) e tangente vertical quando o denominador é zero (e o numerador não).
Passo 2
Calcular
. Da definição
vem
Passo 3
Substituindo em
, o numerador
e o denominador
são
Passo 4
Para tangente horizontal impomos
com
. A equação
tem soluções
ou
. Dessas,
(i.e.\
) anula também
, gerando cusp, então só valem
e
.
Passo 5
Para tangente vertical impomos
com
. Da fatoração
vem
ou
. Dessas, excluímos onde
(que ocorre em
e
), ficando
,
e
.
Passo 6
Calcular
em cada
:
- Para
ou : ; ; . - Para
: ; ; . - Para
ou : ; ; .
Resposta
Tangente horizontal em
e
.
Tangente vertical em
,
e
.
Tangente vertical em