Identifique o domínio e imagem das seguintes funções. Prove que que os conjuntos identificados são de fato o domínio e imagem dessas funções.
f(x)=\frac{x-1}{x+1}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o domínio e a imagem da função
f(x)=\frac{x-1}{x+1}
e provar que são exatamente esses conjuntos. Para isso vamos usar:
  1. Para o domínio, a regra de que não podemos ter divisão por zero.
  2. Para a imagem, resolver a equação y = f(x) em termos de x e verificar quais valores de y são atingidos.

Passo 2

Para achar o domínio de f, observamos o denominador. Não podemos ter
x+1 = 0.
Logo, excluímos x=-1. Como não há outra restrição (raiz de radicais, logaritmos etc.), o domínio é
\mathbb{D} = \{\,x\in\mathbb{R}\mid x\neq -1\} = \mathbb{R}\setminus\{-1\}.
Assim provamos que nenhum outro valor precisa ser excluído.

Passo 3

Para determinar a imagem, chamemos
y = \frac{x-1}{x+1}.
Multiplicando ambos os lados por x+1 (que sabemos não é zero no domínio),
y\,(x+1)=x-1 \quad\Longrightarrow\quad yx + y = x -1 \quad\Longrightarrow\quad x(y-1) = -y -1.
Se y\neq 1, podemos isolar
x = -\frac{y+1}{y-1},
o que é um número real bem definido pois y-1\neq0. Além disso, esse x satisfaz x\neq -1 (logo está no domínio) e de fato produz f(x)=y por construção.
Resta ver que não existe x tal que f(x)=1. Se tentássemos
\frac{x-1}{x+1}=1 \quad\Longrightarrow\quad x-1 = x+1 \quad\Longrightarrow\quad -1=1,
uma contradição. Logo y=1 nunca é atingido. Concluímos que a imagem é
\mathbb{I} = \{\,y\in\mathbb{R}\mid y\neq 1\} = \mathbb{R}\setminus\{1\}.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\setminus\{-1\}
Imagem: \mathbb{R}\setminus\{1\}

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