Identifique o domínio e imagem das seguintes funções. Prove que que os conjuntos identificados são de fato o domínio e imagem dessas funções.
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o domínio e a imagem da função
e provar que são exatamente esses conjuntos. Para isso vamos usar:
- Para o domínio, a regra de que não podemos ter divisão por zero.
- Para a imagem, resolver a equação
em termos de e verificar quais valores de são atingidos.
Passo 2
Para achar o domínio de
, observamos o denominador. Não podemos ter
Logo, excluímos
. Como não há outra restrição (raiz de radicais, logaritmos etc.), o domínio é
Assim provamos que nenhum outro valor precisa ser excluído.
Passo 3
Para determinar a imagem, chamemos
Multiplicando ambos os lados por
(que sabemos não é zero no domínio),
Se
, podemos isolar
o que é um número real bem definido pois
. Além disso, esse
satisfaz
(logo está no domínio) e de fato produz
por construção.
Resta ver que não existe tal que
. Se tentássemos
Resta ver que não existe
uma contradição. Logo
nunca é atingido. Concluímos que a imagem é
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: