Identifique o eixo e a geratriz da superfície de revolução, cuja equação cartesiana é:
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Passo 1
A equação dada é uma quádrupla de segundo grau em x, y e z, do tipo 4x² + 9y² – z² = 36. Vamos verificar se ela representa realmente uma superfície de revolução e, em caso afirmativo, qual é o eixo de rotação e qual era a geratriz (o perfil) que foi girado.
Passo 2
Para que uma superfície seja de revolução em torno de um eixo qualquer, as duas variáveis transversais a esse eixo devem aparecer com coeficientes iguais na equação. Ou seja, se o eixo de revolução fosse o eixo z, teríamos uma expressão do tipo A(x² + y²) – z² = constante. Se fosse o eixo x, teríamos B(y² + z²) – x² = constante, e assim por diante.
Passo 3
Na equação 4x² + 9y² – z² = 36, os coeficientes de x² e y² são 4 e 9, que não são iguais. Se tentássemos qualquer outro eixo (x, y ou uma direção oblíqua), ao escrever a distância ao eixo como soma de quadrados de duas variáveis, essas duas variáveis teriam de ter o mesmo coeficiente. Aqui não há como igualar 4 e 9 por nenhuma rotação de eixos.
Passo 4
Como não existe nenhum eixo em torno do qual a equação se torne função apenas de r² (distância ao eixo) e da coordenada ao longo do eixo, concluímos que essa superfície NÃO É uma superfície de revolução.
Portanto, não há eixo de rotação nem geratriz para essa equação — ela define um hiperbolóide de uma folha sem simetria de revolução.
Portanto, não há eixo de rotação nem geratriz para essa equação — ela define um hiperbolóide de uma folha sem simetria de revolução.
Resposta
A superfície 4x² + 9y² – z² = 36 não é de revolução, pois os coeficientes de x² e y² são diferentes. Logo, não existe eixo de rotação nem geratriz para essa equação.