Identifique o eixo e a geratriz da superfície de revolução, cuja equação cartesiana é:
z=x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para identificar o eixo de revolução e a geratriz da superfície descrita por z = x^2 + y^2. O conteúdo envolve superfícies de revolução: precisamos lembrar que tais superfícies surgem ao girar uma curva plana (geratriz) em torno de uma reta (eixo).

Passo 2

Para achar o eixo de revolução, note que a equação z = x^2 + y^2 depende apenas de r^2 = x^2 + y^2 e não do ângulo azimutal. Isso significa que a superfície é invariante por rotações ao redor da reta
$$
{(0,0,z)😒\in\mathbb{R}}\n$$
que é justamente o eixo (0,0,z):zinRn (isto é, z).

Passo 3

Para determinar a geratriz, fazemos a interseção da superfície com um plano contendo o eixo. Escolhendo o plano y=0, substituímos na equação e obtemos
z = x^2 + 0^2 Longrightarrow z = x^2
Essa curva no plano x z (com y=0) é a geratriz: uma parábola. Girando-a em torno do eixo z recuperamos a superfície original.

Passo 4

Portanto, a geratriz é a parábola definida por
$$
{(x,0,x^2):x\in\mathbb{R}}\n$$

Resposta

Eixo de revolução: reta x=0,,y=0 (eixo z). Geratriz: parábola no plano y=0 dada por z=x^2, isto é, o conjunto (x,0,x^2):xinR.

Exercícios relacionados