Identifique o eixo e a geratriz da superfície de revolução, cuja equação cartesiana é:
Passo 1
O enunciado pede para identificar o eixo de revolução e a geratriz da superfície descrita por
. O conteúdo envolve superfícies de revolução: precisamos lembrar que tais superfícies surgem ao girar uma curva plana (geratriz) em torno de uma reta (eixo).
Passo 2
Para achar o eixo de revolução, note que a equação
depende apenas de
e não do ângulo azimutal. Isso significa que a superfície é invariante por rotações ao redor da reta
$$
{(0,0,z)😒\in\mathbb{R}}\n$$
que é justamente o eixo (isto é,
).
que é justamente o eixo
Passo 3
Para determinar a geratriz, fazemos a interseção da superfície com um plano contendo o eixo. Escolhendo o plano
, substituímos na equação e obtemos
Essa curva no plano
–
(com
) é a geratriz: uma parábola. Girando-a em torno do eixo
recuperamos a superfície original.
Passo 4
Portanto, a geratriz é a parábola definida por
$$
{(x,0,x^2):x\in\mathbb{R}}\n$$
Resposta
Eixo de revolução: reta
(eixo
). Geratriz: parábola no plano
dada por
, isto é, o conjunto
.