Exercício 1. Considere as matrizes:
A=[ll 1 & 2 3 & 4 ], B=[cc 0 & -1 2 & 1 ]
Calcule A+B, 3 A-2 B e A B. Verifique se A B=B A.

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes A e B em R^2times2 e pede para calcular a soma A+B, a combinação linear 3A-2B, o produto AB e verificar se AB = BA. Vamos usar as definições de soma e subtração elemento a elemento, multiplicação por escalar e multiplicação de matrizes.

Passo 2

Para somar A+B basta somar cada entrada correspondente:
A = 1 & 23 & 4, B = 0 & -12 & 1
A + B = 1+0 & 2+(-1) 3+2 & 4+1 = 1 & 1 5 & 5

Passo 3

Para 3A - 2B calculamos primeiro 3A e 2B e depois subtraímos:
3A = 3cdot1 & 3cdot2 3cdot3 & 3cdot4 = 3 & 6 9 & 12 , 2B = 2cdot0 & 2cdot(-1) 2cdot2 & 2cdot1 = 0 & -2 4 & 2
3A - 2B = 3-0 & 6-(-2) 9-4 & 12-2 = 3 & 8 5 & 10

Passo 4

Para o produto AB, usamos a regra de linha vezes coluna:
AB = 1 & 23 & 4 0 & -12 & 1 = 1cdot0 + 2cdot2 & 1cdot(-1) + 2cdot1 3cdot0 + 4cdot2 & 3cdot(-1) + 4cdot1 = 4 & 1 8 & 1

Passo 5

Para ver se AB=BA, calculamos também
BA = 0 & -12 & 1 1 & 23 & 4 = 0cdot1 + (-1)cdot3 & 0cdot2 + (-1)cdot4 2cdot1 + 1cdot3 & 2cdot2 + 1cdot4 = -3 & -4 5 & 8
Como essa matriz é diferente de AB, concluímos que AB neq BA.

Resposta

A + B = 1 & 15 & 5
3A - 2B = 3 & 85 & 10
AB = 4 & 18 & 1
Observe que
BA = -3 & -45 & 8,
logo AB neq BA.

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