Identifique e esboce as cônicas a seguir, explicando as suas escolhas.
2(x-1)^{2}+2(y+2)^{2}=5;

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar a cônica dada pela equação
2(x-1)^{2} + 2(y+2)^{2} = 5.
Isso envolve reconhecer o tipo de cônica (elipse, hipérbole, parábola ou círculo) e escrever a equação na forma canônica, encontrando o centro e os semi-eixos.

Passo 2

Para pôr em forma canônica, dividimos ambos os lados por 5:
\frac{2(x-1)^{2}}{5} + \frac{2(y+2)^{2}}{5} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{(x-1)^{2}}{5/2} + \frac{(y+2)^{2}}{5/2} = 1.

Passo 3

Na forma
\frac{(x-1)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y+2)^{2}}{b^{2}} = 1
temos aqui a^{2}=b^{2}=5/2. Como a=b, a cônica é um círculo.
O centro é (1,-2) e o raio é
r = a = \sqrt{\tfrac{5}{2}} \approx 1{,}58.

Passo 4

Para esboçar:
  • Marque o ponto (1,-2) como centro.
  • A partir desse centro, desenhe um círculo de raio aproximadamente 1{,}6, atingindo em x=1\pm1{,}6 e em y=-2\pm1{,}6.

Resposta

A cônica é um círculo de centro (1,-2) e raio \sqrt{\tfrac{5}{2}}.

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