Identifique e esboce as cônicas a seguir, explicando as suas escolhas.
\frac{x^{2}}{4}-\frac{(y-2)^{2}}{9}=1;

Passo 1

O enunciado dá a equação
\frac{x^{2}}{4}-\frac{(y-2)^{2}}{9}=1
e pede para identificar e esboçar a cônica. O conteúdo é classificação de cônicas, em particular reconhecer se é elipse, hipérbole ou parábola.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão, note que
\frac{x^{2}}{4}-\frac{(y-2)^{2}}{9}=\frac{(x-0)^{2}}{2^{2}}-\frac{(y-2)^{2}}{3^{2}}=1.

Passo 3

Comparando com a forma
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1
vemos que h=0, k=2, a=2, b=3. Como o termo positivo é o de x, trata-se de uma hipérbole com eixo transverso horizontal e centro em (0,2).

Passo 4

Os vértices ficam em
(h\pm a,\;k) = (0\pm2,\;2),
isto é, em (2,2) e (-2,2).

Passo 5

As assíntotas da hipérbole são dadas por
y-k = \pm\frac{b}{a}\,(x-h),
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y-2 = \pm\frac{3}{2}x
ou seja
y = 2 + \frac{3}{2}x \quad\text{e}\quad y = 2 - \frac{3}{2}x.

Passo 6

Para o esboço, primeiro marque o centro em (0,2) e os vértices em (2,2), (-2,2). Desenhe as duas retas assíntotas y=2\pm\frac{3}{2}x. Finalmente, trace os dois ramos da hipérbole abrindo-se para a direita e para a esquerda, aproximando-se das assíntotas.

Resposta

A curva é uma hipérbole com centro em (0,2), eixo transverso horizontal, vértices em (2,2) e (-2,2) e assíntotas
y = 2 + \frac{3}{2}x \quad\text{e}\quad y = 2 - \frac{3}{2}x.

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