6 (UFMT) Uma empresa fabrica três produtos. Suas despesas de produção estão divididas em três categorias (Tabela I). Em cada uma dessas categorias, faz-se uma estimativa do custo de produçāo de um único exemplar de cada produto. Faz-se, também, uma estimativa da quantidade de cada produto a ser fabricado por estação (Tabela II).

Tabela I

Custo de produçāo por item (em dólares)
Categorias Produto
A B C
Matéria-prima 0,10 0,30 0,15
Pessoal 0,30 0,40 0,25
Despesas gerais 0,10 0,20 0,15

Tabela II

Quantidade produzida por estaçāo
Estação
Verāo Outono Inverno Primavera
A 4000 4500 4500 4000
B 2000 2600 2400 2200
C 5800 6200 6000 6000

Matemática

As tabelas I e II podem ser representadas, respectivamente, pelas matrizes
\begin{aligned} & M=\left[\begin{array}{lll} 0,10 & 0,30 & 0,15 \\\\ 0,30 & 0,40 & 0,25 \\\\ 0,10 & 0,20 & 0,15 \end{array}\right] e \\\ & P=\left[\begin{array}{llll} 4000 & 4500 & 4500 & 4000 \\\\ 2000 & 2600 & 2400 & 2200 \\\\ 5800 & 6200 & 6000 & 6000 \end{array}\right] \end{aligned}
A empresa apresenta a seus acionistas uma única tabela mostrando o custo total por estação de cada uma das três categorias: matéria-prima, pessoal e despesas gerais. A partir das informações dadas, julgue os itens:
a) A tabela apresentada pela empresa a seus acionistas é representada pela matriz MP de ordem 3 \times 4.
b) Os elementos na 1^{a} linha de MP representam o custo total de matéria-prima para cada uma das quatro estações.
c) O custo com despesas gerais para o outono será 2160 dólares.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes:
M = \begin{pmatrix} 0,10 & 0,30 & 0,15\\\\ 0,30 & 0,40 & 0,25\\\\ 0,10 & 0,20 & 0,15 \end{pmatrix}, \quad P = \begin{pmatrix} 4000 & 4500 & 4500 & 4000\\\\ 2000 & 2600 & 2400 & 2200\\\\ 5800 & 6200 & 6000 & 6000 \end{pmatrix}.
Aqui M é a matriz de custo por unidade (categorias \times produtos) e P é a matriz de quantidade produzida (produtos \times estações). A empresa exibe a matriz MP, que contém o custo total de cada categoria em cada estação.

Passo 2

Para verificar a afirmação (a), observamos que M tem ordem 3\times3 e P tem ordem 3\times4. O produto MP então existe e tem ordem 3\times4. Logo a afirmação (a) é verdadeira.

Passo 3

A afirmação (b) diz que a 1ª linha de MP representa o custo total de matéria-prima em cada estação. De fato, a 1ª linha de M é (0,10,0,30,0,15), que são os custos unitários de matéria-prima para os produtos A, B e C. Multiplicando essa linha pelas colunas de P obtemos, para cada estação,
\sum_{k\in\{A,B,C\}}(\text{custo de MP em }k)\times(\text{qtd de }k)=\text{custo total de matéria-prima}.é
Portanto (b) é verdadeira.

Passo 4

Para a afirmação (c) precisamos do custo de despesas gerais ( 3ª linha de MP) na estação Outono, isto é, o elemento (3,2) de MP. A 3ª linha de M é (0,10,0,20,0,15) e a 2ª coluna de P é (4500,2600,6200)^\mathsf{T}. Logo
(MP)_{3,2} =0,10\cdot4500+0,20\cdot2600+0,15\cdot6200 =450+520+930 =1900.
Como o enunciado afirmava 2160, a afirmação (c) é falsa.

Resposta

(a) Verdadeiro
(b) Verdateiro
(c) Falso

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