Identifique e esboce as cônicas a seguir, explicando as suas escolhas.
x^{2}-2 y=0;

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar a curva dada por
x^{2} - 2y = 0.
Isso entra em “cônicas”, mais precisamente em parábolas. Para resolver, vamos reescrever a equação em forma canônica de parábola e usar suas propriedades (vértice, foco, diretriz e eixo de simetria).

Passo 2

Isolando y temos
x^{2} - 2y = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2y = x^{2} \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{x^{2}}{2}.

Passo 3

Reescrevendo como
x^{2} = 2y,
comparamos com a forma padrão
x^{2} = 4p\,y.
Logo, 4p = 2 implica
p = \tfrac{1}{2}.

Passo 4

Para a parábola x^{2}=4p\,y com p=\tfrac12:
– Vértice: V=(0,0).
– Foco: F=(0,p)=(0,\tfrac12).
– Diretriz: reta y=-p, ou seja y=-\tfrac12.
– Eixo de simetria: o eixo vertical x=0.

Passo 5

Esboço da parábola x^2=2y:
– Abre para cima, vértice na origem.
– Pontos úteis: para y=1 temos x=\pm\sqrt{2}; para y=2 temos x=\pm 2.
– Marque o foco F(0,\tfrac{1}{2}) e a diretriz y=-\tfrac{1}{2}.
\begin{array}{rcl} && y \\\ && \uparrow \\\\ 2 & \quad & \bullet (\pm 2,2) \\\\ 1 & \quad & \bullet\bullet (\pm \sqrt{2},1) \\\ \tfrac{1}{2} & \text{─} & F \quad \text{foco} \\\\ 0 & \text{─} & V \quad \bullet (-\sqrt{2},1) \\\ && \to x \\\\ -\tfrac{1}{2} & \text{─} & \text{diretriz } y = -\tfrac{1}{2} \end{array}

Resposta

A curva é uma parábola de vértice em (0,0), equação canônica x^{2}=4(\tfrac12)y, com foco em (0,\tfrac12), diretriz y=-\tfrac12 e eixo de simetria vertical x=0.

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