Identifique e esboce as cônicas a seguir, explicando as suas escolhas.
x^{2}+y^{2}-2 x+6 y+1=0;

Passo 1

O enunciado pede para identificar que tipo de cônica é definida por
x^{2}+y^{2}-2x+6y+1=0
e, em seguida, esboçá-la. O conteúdo principal é classificação de cônicas via coeficientes e completar o quadrado para obter a forma padrão.

Passo 2

Analisamos os coeficientes da parte quadrática x^{2}+y^{2}: aqui A=1, B=0, C=1, com A=C e B=0. Isso caracteriza uma circunferência. Para expor o centro e o raio, completamos o quadrado:
x^{2}-2x = (x-1)^{2}-1, \quad y^{2}+6y = (y+3)^{2}-9.
Substituindo em x^{2}+y^{2}-2x+6y+1=0, vem
(x-1)^{2}-1 \;+\;(y+3)^{2}-9 \;+\;1 = 0
\Longrightarrow (x-1)^{2}+(y+3)^{2} -9 = 0
\Longrightarrow (x-1)^{2}+(y+3)^{2} = 9.

Passo 3

A forma (x-1)^{2}+(y+3)^{2}=9 revela que temos uma circunferência de centro (1,-3) e raio r=\sqrt{9}=3. Para esboçar, basta:
— desenhar os eixos x e y;
— marcar o ponto C=(1,-3);
— marcar os pontos cardeais da circunferência:
(1+3,-3)=(4,-3), (1-3,-3)=(-2,-3), (1,-3+3)=(1,0), (1,-3-3)=(1,-6);
— traçar a curva fechada passando por esses quatro pontos, de modo suave.

Resposta

A curva é uma circunferência de centro (1,-3) e raio 3.

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