Duas retas r e s são paralelas. Na reta r marcamos 8 pontos e na reta s marcamos 9. Usando os pontos marcados como possíveis vértices:
quantos triângulos podemos formar?

Passo 1

Temos duas retas paralelas r e s. Na reta r 8 pontos e na reta s 9 pontos, totalizando 17 pontos. Um triângulo é determinado por qualquer escolha de 3 desses pontos, desde que eles não sejam colineares. Como só há colinearidade quando todos os 3 pontos estiverem na mesma reta, vamos usar contagem por combinações e então excluir as escolhas degeneradas.

Passo 2

O número total de formas de escolher 3 pontos dentre os 17 é
\binom{17}{3}.

Passo 3

As escolhas degeneradas são aquelas com todos os 3 pontos em r ou todos em s. Essas quantidades valem, respectivamente,
\binom{8}{3} \quad\text{e}\quad \binom{9}{3}.

Passo 4

Portanto, o número de triângulos formados (ou seja, escolhas de 3 pontos não colineares) é
\binom{17}{3} \;-\;\binom{8}{3}\;-\;\binom{9}{3}.
Calculando:
\binom{17}{3}=680,\quad \binom{8}{3}=56,\quad \binom{9}{3}=84,
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680-56-84 = 540.

Resposta

540 triângulos.

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