Achar a área limitada pelo círculo x^2+y^2=25 e as retas x=-3 e x=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área limitada pelo círculo definido pela equação $ x^{2} + y^{2} = 25 $ e pelas retas verticais $ x = -3 $ e $ x = 4 $. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e cálculo de integrais, que nos ajudam a calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o círculo $ x^{2} + y^{2} = 25 $. Essa é a equação de um círculo com centro na origem (0,0) e raio 5, já que $ \sqrt{25} = 5 $. Para achar a área que queremos, precisamos saber quais são os limites em y para cada x entre -3 e 4.

Passo 3

Vamos resolver a equação do círculo para y:
y^2 = 25 - x^2
Então,
y = raiz25 - x^2 e y = -raiz25 - x^2
Essas duas funções representam a parte de cima e a parte de baixo do círculo, respectivamente.

Passo 4

Para encontrar a área entre $ x = -3 $ e $ x = 4 $, vamos calcular a área entre essas retas verticais e o círculo. Como a área de cima e a de baixo são simétricas, podemos calcular apenas a parte de cima e multiplicar por 2.

Passo 5

A fórmula para a área $ A $ será:
A
Aqui, estamos integrando a função $ \sqrt{25 - x^{2}} $ de $ x = -3 $ a $ x = 4 $ e multiplicando por 2 para considerar a parte de baixo do círculo.

Passo 6

Vamos resolver essa integral. A integral de $ \sqrt{a^{2} - x^{2}} , dx $ é:
raiza^2 - x^2 , dx
No nosso caso, $ a = 5 $, então:
x2 raiza^2 - x^2 + a^22 arcsin(xa) + C

Passo 7

Vamos calcular essa expressão nos limites de -3 a 4:
Para $ x = 4 $:
x = 4
Para $ x = -3 $:
42 raiz25 - 16 + 252 arcsin(45) = 2 times 3 + 252 times 0.9273 approx 6 + 11.591

Passo 8

Subtraindo os valores:
(6 + 11.591) - (-6 - 8.044) = 17.591 + 14.044 = 31.635
Multiplicando por 2:
A = 2 times 31.635 approx 63.27

Resposta

A área limitada pelo círculo $ x^{2} + y^{2} = 25 $ e pelas retas $ x = -3 $ e $ x = 4 $ é aproximadamente 63,27 unidades de área.

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