Achar a área limitada pelo círculo
e as retas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área limitada pelo círculo definido pela equação $ x^{2} + y^{2} = 25 $ e pelas retas verticais $ x = -3 $ e $ x = 4 $. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e cálculo de integrais, que nos ajudam a calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o círculo $ x^{2} + y^{2} = 25 $. Essa é a equação de um círculo com centro na origem (0,0) e raio 5, já que $ \sqrt{25} = 5 $. Para achar a área que queremos, precisamos saber quais são os limites em y para cada x entre -3 e 4.
Passo 3
Vamos resolver a equação do círculo para y:
Então,
Essas duas funções representam a parte de cima e a parte de baixo do círculo, respectivamente.
Passo 4
Para encontrar a área entre $ x = -3 $ e $ x = 4 $, vamos calcular a área entre essas retas verticais e o círculo. Como a área de cima e a de baixo são simétricas, podemos calcular apenas a parte de cima e multiplicar por 2.
Passo 5
A fórmula para a área $ A $ será:
Aqui, estamos integrando a função $ \sqrt{25 - x^{2}} $ de $ x = -3 $ a $ x = 4 $ e multiplicando por 2 para considerar a parte de baixo do círculo.
Passo 6
Vamos resolver essa integral. A integral de $ \sqrt{a^{2} - x^{2}} , dx $ é:
No nosso caso, $ a = 5 $, então:
Passo 7
Vamos calcular essa expressão nos limites de -3 a 4:
Para $ x = 4 $:
Para $ x = -3 $:
Passo 8
Subtraindo os valores:
Multiplicando por 2:
Resposta
A área limitada pelo círculo $ x^{2} + y^{2} = 25 $ e pelas retas $ x = -3 $ e $ x = 4 $ é aproximadamente 63,27 unidades de área.