Identifique e esboce a curva dada por:
;
Passo 1
O enunciado dá a parametrização
e pede que se identifique a curva (qual equação ela satisfaz no plano) e que se esboce (ou descreva) essa curva. Informações explícitas que temos:
- A parametrização é
para . - Das componentes segue que
varia entre e , e varia entre e .
O objetivo agora é usar esses dados para obter a equação cartesiana, descrever o conjunto imagem (onde a curva está no plano), e explicar o movimento à medida quevaria.
Passo 2
Eliminar o parâmetro para achar a equação cartesiana (a relação entre
e
). Seja
Então, substituindo,
Portanto todos os pontos da curva satisfazem a equação
Explicação didática: como a primeira componente é
, basta elevar ao quadrado para obter a segunda componente, logo a relação entre
e
é
. Isto é simples e poderoso: a parametrização produz pontos do gráfico da parábola clássica
.
Passo 3
Determinar o intervalo de
e
que efetivamente aparecem na curva (a imagem da parametrização). Como
para todo
, temos
Como
, a imagem é o trecho da parábola
com
. Em outras palavras, a imagem é o arco da parábola entre os pontos
e
, passando pelo vértice
.
Passo 4
Identificar pontos e quando aparecem (valores de
importantes):
- Vértice:
ocorre quando , ou seja para com . - Extremidades do trecho:
quando , i.e. ; quando , i.e. (ou ).
Observação didática: isso mostra que os extremos do trecho ocorrem em valores deonde , e que o vértice é visitado sempre que é múltiplo de .
Passo 5
Estudar a orientação (sentido) em que a curva é percorrida quando
aumenta. Calculemos a derivada da parametrização:
A componente
determina se
está aumentando ou diminuindo:
- Para
tem-se , logo cresce: o ponto vai de (em ) até (em ), passando por em . - Para
tem-se , logo diminui: o ponto volta de para , passando por em .
Como a parametrização é-periódica, esse vaivém repete-se infinitamente: o ponto percorre o trecho da parábola de um lado ao outro e volta, repetidamente.
Didática sobre a razão de mudança
: quando
(ou seja exceto nos instantes onde
) temos
Usando
obtemos
, que é a derivada usual da função
. Portanto a tangente no ponto
tem inclinação
. Nos instantes
onde
a fórmula por quociente falha (parâmetro não regular ali), porém a parábola tem tangente bem definida nesses pontos: em
a inclinação é
.
Passo 6
Instruções para esboçar (como desenhar à mão na prova) e pontos a marcar:
- Desenhe a parábola
apenas para . - Marque os pontos
, e . - Indique com uma seta que, quando
cresce de até , o ponto percorre o trecho de até (seta da esquerda para a direita passando por ). Em seguida, para indo de a , o ponto volta de para . Repita se quiser indicar a periodicidade. - Observação útil: exceto pelos extremos e pelo vértice, cada ponto do trecho é atingido infinitas vezes (devido à periodicidade de
) e normalmente aparece duas vezes por período (uma enquanto vai para a direita e outra enquanto volta).
Resposta
A imagem de
é o trecho da parábola
com
.
A curva é percorrida da esquerda para a direita quando vai de
a
(de
a
), depois volta da direita para a esquerda no intervalo seguinte, e esse vaivém repete-se periodicamente.
A curva é percorrida da esquerda para a direita quando