Identifique e esboce a curva dada por:
\gamma(t)=\left(\sin t, \sin ^{2} t\right);

Passo 1

O enunciado dá a parametrização \gamma(t)=\bigl(\sin t,\sin^{2}t\bigr) e pede que se identifique a curva (qual equação ela satisfaz no plano) e que se esboce (ou descreva) essa curva. Informações explícitas que temos:
  • A parametrização é \gamma(t)=\bigl(\sin t,\sin^{2}t\bigr) para t\in\mathbb{R}.
  • Das componentes segue que \sin t varia entre -1 e 1, e \sin^{2}t varia entre 0 e 1.
    O objetivo agora é usar esses dados para obter a equação cartesiana, descrever o conjunto imagem (onde a curva está no plano), e explicar o movimento à medida que t varia.

Passo 2

Eliminar o parâmetro para achar a equação cartesiana (a relação entre x e y). Seja
x=\sin t,\qquad y=\sin^{2}t.
Então, substituindo,
y=(\sin t)^{2}=x^{2}.
Portanto todos os pontos da curva satisfazem a equação
y=x^{2}.
Explicação didática: como a primeira componente é \sin t, basta elevar ao quadrado para obter a segunda componente, logo a relação entre x e y é y=x^{2}. Isto é simples e poderoso: a parametrização produz pontos do gráfico da parábola clássica y=x^{2}.

Passo 3

Determinar o intervalo de x e y que efetivamente aparecem na curva (a imagem da parametrização). Como \sin t\in[-1,1] para todo t, temos
-1\le x\le 1,\qquad 0\le y\le 1.
Como y=x^{2}, a imagem é o trecho da parábola y=x^{2} com -1\le x\le 1. Em outras palavras, a imagem é o arco da parábola entre os pontos \bigl(-1,1\bigr) e \bigl(1,1\bigr), passando pelo vértice \bigl(0,0\bigr).

Passo 4

Identificar pontos e quando aparecem (valores de t importantes):
  • Vértice: (0,0) ocorre quando \sin t=0, ou seja para t=k\pi com k\in\mathbb{Z}.
  • Extremidades do trecho: \bigl(1,1\bigr) quando \sin t=1, i.e. t=\tfrac{\pi}{2}+2\pi k; \bigl(-1,1\bigr) quando \sin t=-1, i.e. t=-\tfrac{\pi}{2}+2\pi k (ou t=\tfrac{3\pi}{2}+2\pi k).
    Observação didática: isso mostra que os extremos do trecho ocorrem em valores de t onde \sin t=\pm1, e que o vértice é visitado sempre que t é múltiplo de \pi.

Passo 5

Estudar a orientação (sentido) em que a curva é percorrida quando t aumenta. Calculemos a derivada da parametrização:
\gamma'(t)=\bigl(\cos t,\;2\sin t\cos t\bigr)=\cos t\,(1,2\sin t).
A componente x'=\cos t determina se x está aumentando ou diminuindo:
  • Para t\in\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr) tem-se \cos t>0, logo x cresce: o ponto vai de \bigl(-1,1\bigr) (em t=-\tfrac{\pi}{2}) até \bigl(1,1\bigr) (em t=\tfrac{\pi}{2}), passando por \bigl(0,0\bigr) em t=0.
  • Para t\in\bigl(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\bigr) tem-se \cos t<0, logo x diminui: o ponto volta de \bigl(1,1\bigr) para \bigl(-1,1\bigr), passando por \bigl(0,0\bigr) em t=\pi.
    Como a parametrização é 2\pi-periódica, esse vaivém repete-se infinitamente: o ponto percorre o trecho da parábola de um lado ao outro e volta, repetidamente.
Didática sobre a razão de mudança dy/dx: quando \cos t\neq0 (ou seja exceto nos instantes onde x' = 0) temos
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}=\frac{2\sin t\cos t}{\cos t}=2\sin t.
Usando x=\sin t obtemos \dfrac{dy}{dx}=2x, que é a derivada usual da função y=x^{2}. Portanto a tangente no ponto (x,x^{2}) tem inclinação 2x. Nos instantes t=\tfrac{\pi}{2}+k\pi onde \cos t=0 a fórmula por quociente falha (parâmetro não regular ali), porém a parábola tem tangente bem definida nesses pontos: em x=\pm1 a inclinação é 2(\pm1)=\pm2.

Passo 6

Instruções para esboçar (como desenhar à mão na prova) e pontos a marcar:
  • Desenhe a parábola y=x^{2} apenas para -1\le x\le 1.
  • Marque os pontos \bigl(-1,1\bigr), \bigl(0,0\bigr) e \bigl(1,1\bigr).
  • Indique com uma seta que, quando t cresce de -\tfrac{\pi}{2} até \tfrac{\pi}{2}, o ponto percorre o trecho de \bigl(-1,1\bigr) até \bigl(1,1\bigr) (seta da esquerda para a direita passando por (0,0)). Em seguida, para t indo de \tfrac{\pi}{2} a \tfrac{3\pi}{2}, o ponto volta de \bigl(1,1\bigr) para \bigl(-1,1\bigr). Repita se quiser indicar a periodicidade.
  • Observação útil: exceto pelos extremos e pelo vértice, cada ponto do trecho é atingido infinitas vezes (devido à periodicidade de \sin t) e normalmente aparece duas vezes por período (uma enquanto vai para a direita e outra enquanto volta).

Resposta

A imagem de \gamma é o trecho da parábola \;y=x^{2}\; com -1\le x\le 1.
A curva é percorrida da esquerda para a direita quando t vai de -\tfrac{\pi}{2} a \tfrac{\pi}{2} (de (-1,1) a (1,1)), depois volta da direita para a esquerda no intervalo seguinte, e esse vaivém repete-se periodicamente.

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